信号与线性系统第二章、连续时间系统的时域分析

第二章、连续时间系统的时域分析主要内容：系统的数学模型零输入响应与零状态响应奇异函数与信号的时域分解冲激响应与阶跃响应卷积§2.1引言连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性常系数微分方程，求解微分方程通常有两种方法：一是直接求解，因涉及的函数变量都是时间t，所以称时域分析法；二是变换的方法，即将时间变量变换为其他变量，所以也称变换域分析法。这一章我们主要讨论时域分析法，下面先看一个RLC串联电路列回路方程可得:t)t(e)t(Ridt)t(diLd)(iC1或22()()11()()ditRditdetitdtLdtLCLdtebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdnmmmmmmnnnnn0111101111......阶系统：一、经典解法这种形式的方程其解法在高等数学中已学过。求解过程可分为三步：1、求出齐次方程的通解。（称自由响应）2、根据激励函数的具体形式求特解。（称受迫响应）3、根据初始条件求待定系数。这种方法对于简单的正弦函数或指数函数、直流激励时求解比较简单，但对于一些复杂的激励信号求解就比较困难了。二、叠加积分法这种方法将全响应分为零输入响应和零状态响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)初态≠0系统)(tei激励)(tr全响应初态=0系统)(tei真实激励)(tr)(tes初态等效激励初态=0系统0)(tei零输入响应)(trzi0)(tes初态=0系统0)(tei零状态响应)(trzs0)(tes)()()(trtrtrzizs1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t)2、将e(t)分解为基本函数，分别求解系统对这些基本函数的响应。3、根据线性系统的叠加原理将它们相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)§2.2系统方程的算子表示法对于n阶线性非时变系统其输入输出方程为ebdtdeb...dtedbdtedbradtdra...dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111p()dpdtdpdtdpdtdt-nnn1...,222以及引入算子则方程可改写为：ebpeb...epbepbrapra...rparpmmmmnnn01110111进一步可写成：ebpbpbpbrapapappNmmmmpDnnn)(0111)(0111)...()...(称转移算子称算子方程，其中则)()()()()()()()()(,)()()()(pDpNpHtepHtepDpNtrtepNtrpD)()(11xtxddtdxpxppxdxdtdxppttt但可以消去p就不能随意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py也不能推出x=y这是因为0ccyxdtdydtdx除非常数得若结论：1、代数量的运算规则对于算子符号一般也适用，只是在分子分母或等式两边的相同算子符号不能随意约去。2、它表达的是一个运算过程，应把它作为整体看待，书写时也应把它写在变量的左边，表示该运算过程作用于某个变量。3、算子形式的方程实质上还是一个微分方程。因此对于零输入响应就是解齐次方程D(p)r(t)=0，而求零状态响应则要解方程r(t)=H(p)e(t)。下面我们先看一个例子例:电路如图所示，写出i1(t),i2(t)的转移算子。解：直接用算子符号列方程：1pCpL只要将电路中的电容用代替，电感用代替,电阻不变0)112(11)11(2121ippipeipipp01)12(111)1(221212ipppipeipipppeppppppppppppeip)2432(1212111120112322221eppppppppeppip)2432(1121110111232222243212)(,24321223212321ppppppHepppppi24321)(,24321232232ppppHepppi243212)(2321ppppppH24321)(232ppppH243212)(2321ppppppH24321)(232ppppH讨论：1、在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式的最高次数应为三次。2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。§2.3系统的零输入响应前面已经指出求零状态响应就是求解齐次方程：先看一阶、二阶的简单情况，然后再推广到一般情况。0)...()(0111rapapaprpDnnntCeKtCererKtlnrdtdrrdtrdrrdtdrrpK令于是两边积分：或写成微分形式一阶：100)(其中的C为常数，需要系统的初始条件来确定。设初始条件为：t=0时r=r(0)0)0()()0(tertrrCt则：一般地，设初始条件为：t=t0时r=r(t0)0)(000000)()()()(:ttetrtretrCCetrtttt于是则21012012,00)(的两个根为设特征方程二阶：apaprapaptteCtrrpeCtrrprpp2122211121)(0)()(0)(0))((得由得由则原方程可写为：显然r1(t)，r2(t)都满足原方程，所以解的一般形式可写为：tteCeCtr2121)(若t=0时的初试条件为r(0),r’(0)，代入上式得：)0()0(221121rCCrCC解之便可得C1，C2对于一般的n阶齐次方程0)...()(0111rapapaprpDnnn可设其特征方程0...0111apapapnnn有n个根λ1,λ2…λn称特征根,也称为系统自然频率，或称为转移算子H(p)的n个极点。下面分根的三种不同情况来讨论。一、特征根为异（实）根算子方程写为：0)())((21rpppn由前面的讨论可写出解的一般形式：tnttneCeCeCtr2121)(若给定系统的n个初始条件：)0(),0(),0()1(nrrr我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，…Cn。将初始条件代入r(t)就得到一个线性方程组：nnnnnnnnnnnCCCrCCCrCCCrCCCr1212111)1(2222121221121)0()0()0()0()0()0()0()0(1111)1(32111312112232221321nnnnnnnnnrrrrCCCC)0()0()0()0(1111)1(111312112232221321321nnnnnnnnnrrrrCCCC二、特征根为共轭复根因为特征方程的系数为实数，所以如果出现复根则必定成对出现。设特征根λ1，λ2为一对共轭复根，即λ1=α+jβ，λ2=α-jβ则对应的解为：])()([)()()(21212121)(2)(1tsinKKjtcosKKetjsintcoseKtjsintcoseKeKeKtrCCttttjtj12()()trteCcostCsint所以特征根为一对共轭复根时解的一般形式写为：其中的C1，C2同样可由初始条件求出。三、特征根为k阶重根设特征根λ为k阶重根，这种情况说明特征多项式D(p)中有因子(p-λ)k，根为其它的情况前面已作出讨论，所以我们只要求解方程(p-λ)kr=0即可。tkeArrprrp1111)1(0)()(则设：ttttttttkeAtArAtAdtAerAerdtdAredtdreeeArdtdreArrprrp)()()()(2122112121221221122)2(得两边乘以则再设：ttttttttkeAtAtArAtAtAdtAtAerAtAerdtdAtAredtdreeeAtArdtdreAtArrprrp)21(21)()()()()()(3221332212132132133213321233)3(得两边乘以则同理设：tkkkkkeAtAtAktAkrr])!2(1)!1(1[122111121)!1(1,,,AkCACACkkk令如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式为：tkketCtCtCCr)(12321常数C1，C2，…Ck同样可由初始条件求出。例2-1如图RLC串联谐振电路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω初始条件为：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。解：前面我们已经列出了它的微分方程写成算子形式：211()()()RppitpetLLCL22121()2.51(0.5)(2)0.5,2RDpppppLLCpp22()()11()()ditRditdetitdtLdtLCLdttteCeCti225.01)(1、初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时32,32125.00212121CCCCCC0)(32)(25.0teetitt2、初始条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时初始条件uc(0)=10V不能直接用于确定常数C1,C2所以必须转化为i’(0)。sAitutitic/10)0(0)()(5.2)(所以由于代入零输入响应的一般形式得：320,3201025.00212121CCCCCC0)(320)(25.0teetitt1、初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时0)(32)(25.0teetitt2、初始条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时0)(320)(25.0teetitt1、由于电容C上的初始电压为10V方向为左正右负，所以电容放电，方向与参考方向相反，曲线在横轴下方，由于电路中存在电阻将损耗能量，最终电流变为零。2、第一种情况i’(0)=1A/s相当于电容C上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同，曲线在横轴上方。电路的工作过程与第二种情况一样。例2-2上例中将电阻改为R=2Ω初始条件仍为：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路电流的零输入响应。解:0)(11)0()()(00)0()()(1)1(12)(22221212122ttetiC