概率论与数理统计4.3-协方差与相关系数

4.3设(X,Y)为二维随机变量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称其为X和Y的协方差，记为cov(X,Y)。协方差⑶cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)⑴cov(X,Y)=cov(Y,X)⑵cov(aX,bY)=abcov(X,Y)a,b是常数协方差的性质(4)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)解:例1.设D(X+Y)=10,D(X)=5,D(Y)=3，求cov(2X,3Y).()()()2cov(,)532cov(,)10DXYDXDYXYXY()()()2cov(,)532cov(,)10DXYDXDYXYXYcov(,)1XYcov(2,3)6cov(,)6XYXY解:例2.设(X,Y)的联合分布列如下,求cov(2X,3Y).YX-10101/81/41/811/41/81/8()01/211/21/2EX()13/803/812/81/8EY()11/411/81/8EXY1113cov(2,3)6cov(,)6[]8288XYXY为随机变量X和Y的相关系数设D(X)0,D(Y)0,称])()()()([)()(),cov(YDYEYXDXEXEYDXDYXXY相关系数])()()()([YDYEYXDXEXEXY)(YXE)()()(YEXEYXE),cov(YXYX不相关与YXXY,0负相关与YXXY,0正相关与YXXY,02.1存在常数a,b(a≠0），使P(Y=aX+b)=1，1||.1定理3.X与Y相互独立X与Y不相关相关系数ρXY是刻划X和Y间线性关系程度的数字特征，|ρXY|越大，X和Y间线性关系越明显。当ρXY0时，Y有随着X增加而增大的趋势；当ρXY0时，Y有随着X增加而减小的趋势.例3.将一枚均匀硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，求X和Y的相关系数ρXY。解:)21,(~),21,(~nBYnBXnYX1XY例4.设(X,Y)的联合概率密度如下，求X与Y的相关系数。解:其它,010,10,),(yxyxyxf11007()(),12EXxxydydx11007()(),12EYyxydxdy11222004911()()[()]()144144DXEXEXxxydydx11222004911()()[()]()144144DYEYEYyxydxdy11001()()3EXYxyxydydx1773cov(,)()()()31212144XYEXYEXEY3cov(,)314411()()1111144144XYXYDXDY解:例5.设(X,Y)的联合分布列如下,试讨论X与Y的相关性和独立性。YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8323()1010888EX323()1010888EY1111()000008888EXYcov(,)()()()0XYEXYEXEY解:例6..,cos],2,0[~的相关性与讨论设YXXYUX(),EX201()cos02EYxdx20211()cos[sincos]0022EXYxxdxxxxcov(,)()()()000XYEXYEXEY不相关与YX例7.(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，XY证明：对二维正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。211)(,)(XDXE222)(,)(YDYEdydxyxfyxYX),())((),cov(2121(1)求E(Z)和D(Z).(2)求ρXY,判断X与Z是否不相关.(3)判断X与Z是否独立，为什么？例8.23);21,16,9,0,1(~),(YXZNYX设解:(1)16)(,0)(,9)(,1)(YDYEXDXE)23()(YXEZE31)(21)(31YEXEYXXYYX),cov(64321)23()(YXDZD)2,3cov(2)2()3(YXYDXD),cov(31)(41)(91YXYDXD3(2))23,cov(),cov(YXXZX),cov(21),cov(31YXXX0不相关与ZX(3))3,31(~),9,1(~NZNX),3,9,31,1(~),(NZX0XZ独立与ZX对于任意两事件A和B,若0P(A)1,0P(B)1,则称()()()()()()()PABPAPBPAPBPAPB为事件A和B的相关系数。例9.证明:(1)事件A和B独立的充要条件是ρ=0；(2)|ρ|≤1.证:(1)()()()()()()()PABPAPBPAPBPAPB)()()(BPAPABPBA独立与0不发生发生不发生发生BBYAAX0101(2)不同时发生发生ABABXY010Cov(,)0()()()()()()XYXYXYXYEXYEXEYDXYDXDY与相互独立与不相关0Cov(,)0()()()()()()XYXYXYXYEXYEXEYDXYDXDY与相互独立与不相关0Cov(,)0()()()()()()XYXYXYXYEXYEXEYDXYDXDY与相互独立与不相关