概率论与数理统计3.2-边缘分布与独立性

3.2边缘分布),(),()()(xFYxXPxXPxFX),(),()()(yFyYXPyYPyFY设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),则随机变量X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。边缘分布xyFX(x)xyFY(y)二维离散型随机变量的边缘分布设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为xxjijXipxFxF1),()(yyiijYipyFyF1),()(,...2,1,)(1ippxXPjijii,...2,1,)(1jppyYPiijjj,...2,1,,),(jipyYxXPijjip·jp·1p·2…p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下品第一次抽取的产品是次品第一次抽取的产品是正,0,1X品第二次抽取的产品是次品第二次抽取的产品是正,0,1Y对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。(1)有放回抽取(2)无放回抽取Y0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XXpi·2/53/5p·j2/53/51pi·2/53/5p·j2/53/51二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则dyyxfxFdxdxfXX),()()(dxyxfyFdydyfYY),()()(分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。例2.设(X,Y)的分布密度是其它,00,0,6),()23(yxeyxfyx求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。解:dyyxfxfX),()(其它,00,3)(3xexfxX其它,00,2)(2yeyfyY例3.设(X,Y)在区域G={(x,y)|0yx1}上服从均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度。解:SG=1/22,(,)(,)0,xyGfxy其它02,01()(,)0,2,010,xXdyxfxfxydyxx其它其它102,01()(,)0,2(1),010,yYdxxfyfxydxyy其它其它其它,0,10,21ydxy其它,0,10,22yy如果二维随机变量(X,Y)满足,)()(),(yYPxXPyYxXP则称X与Y相互独立.连续型)()(),(yfxfyxfYX随机变量的独立性对任意x,y,有)()(),(yFxFyxFYX即离散型,...2,1,,jipppjiij例4.设(X,Y)的联合分布函数为判断X与Y是否独立。2(1)arctan,0,0(,)0,xeyxyFxy其它因此，X与Y是独立。1,0()(,)0,xXexFxFx其它2arctan,0()(,)0,YyyFyFy其它解:例5.袋中有5个大小形状相同的球，其中4个白球，1个红球。现甲、乙两人轮流随机取球(不放回)，直到某人取出红球为止，设甲先取球。令X、Y分别为结束取球时甲、乙取球的次数。求(X,Y)的联合分布列，并判断X、Y的独立性。因此，X与Y不独立。解:XY012ip10.20.200.4200.20.20.43000.20.2jp0.20.40.4例6.已知X、Y独立,完成下面表格。。XY12p.j123pi.1/81/81/611/241/43/41/121/31/43/81/2例7.设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：)]2()1(21exp[121),(2222yxyxyxf求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。dyyxfxfX),()(dyyxyx)]2()1(21exp[1212222dyxxy])1(2)1()(exp[12122222dyxyex])1(2)(exp[121212222222221])1(2)(exp[21212xydxyexdteetx22222121txy21令2221xe2221)(,yYeyf同理)1,0(~),1,0(~NYNX.,0相互独立与当YX(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X与Y相互独立ρ=0例8.设(X,Y)服从以原点为圆心，R为半径的圆形区域上的均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度,并判断X与Y是否独立。解:22221,(,)0,xyRfxyR其它222222221,()(,)0,2,0,RxRxXdyRxRfxfxydyRRxRxRR其它其它2222,()0,YRyRyRfyR其它因此，X与Y不独立。212(0,0),(0)(0)XYfffRR