九年级数学上册相似三角形比例线段黄金分割同步练习新版浙教版

14.1第3课时黄金分割一、选择题1．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c等于()A．4B．6C．9D．362．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm3．若b是a和c的比例中项，c是b和d的比例中项，则下列各式中不一定成立的是()A.ab＝bcB.ad＝bcC.bc＝cdD.ab＝cd4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为()A．6cmB．10cmC．4cmD．8cm5．已知C是线段AB上的一个点(AC＞BC)，有以下命题：①若ACAB＝BCAC，则C是线段AB的黄金分割点；②若ACAB＝5－12，则C是线段AB的黄金分割点；③若BCAC＝5－12，则C是线段AB的黄金分割点；④若AC2＝BC·AB，则C是线段AB的黄金分割点.其中正确的有()2A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，则PQ的长为()A．5(5－1)B．5(5＋1)C．10(5－2)D．5(3－5)7．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K－29－1②，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；如图③，以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是()图K－29－1A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH二、填空题8．(1)实数2和18的比例中项是________；(2)已知线段a＝5cm，b＝15cm，则a与b的比例中项是________；(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．9．已知C为线段AB的黄金分割点，且ACBC，则BCAB＝________，BCAC＝________.10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1℃).链接学习手册例2归纳总结11．如图K－29－2所示，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S1是以PA为3边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．图K－29－24三、解答题12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为0.6，求x的值(精确到1°)．图K－29－313．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．图K－29－4514．以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取一点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图K－29－5所示．(1)求AM，DM的长；(2)求证：M是线段AD的黄金分割点．图K－29－515思维拓展如图K－29－6①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．6图K－29－671．[答案]B2．[解析]A设这本书的宽为xcm，则x20≈0.618，解得x≈12.36，故选A.3．[答案]B4．[解析]D先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm)．设需要穿的高跟鞋的高度是ycm，则根据黄金分割的定义，得y＋96160＋y≈0.618.解得y≈8.故选D.5．[答案]D6．[解析]C由黄金分割的意义可得PQ＝10×5－12－（1－5－12）＝10(5－2)．7．[解析]D设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1.在Rt△DCF中，DF＝12＋22＝5，∴FG＝5，∴CG＝5－1，∴CGCD＝5－12，∴矩形DCGH为黄金矩形．故选D.8．[答案](1)±6(2)53cm(3)32，12或±32(写出一个即可)[解析](3)设这个数为x，则3，6或x都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．8设这个数为x，则32＝6x或62＝3x或x2＝3×6，解得x＝32或x＝12或x＝±32.9．[答案]3－525－12[解析]因为C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，所以ACAB＝5－12.又因为BC＝AB－AC，所以BCAB＝AB－ACAB＝1－ACAB＝1－5－12＝3－52.由黄金分割可知BCAC＝ACAB＝5－12.10．[答案]23[解析]用近似的黄金比值0.618直接与37相乘即可．11．答案]＝[解析]根据黄金分割的定义得到PA2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝PA2，S2＝PB·AB，即可得到S1＝S2.∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB·AB.又∵S1是以PA为边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.12．解：∵x与y的比通常按黄金比来设计，∴x∶y≈0.6，∴y≈53x.又∵x＋y＝360，∴x＋53x≈360，解得x≈135.13．解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，AB＝1，∴AB＝AC，AD＝BD＝BC，DE＝BE＝CD.9设DE＝x，则CD＝BE＝x，AD＝BC＝1－x.∵ECDE＝BCAB，EC＝BC－BE＝1－x－x＝1－2x，∴1－2xx＝1－x1，解得x＝3－52(x＝3＋521舍去)，∴DE的长为3－52.14．解：(1)∵正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝AP2＋AD2＝5，∴在正方形AMEF中，AM＝AF＝5－1，DM＝AD－AM＝3－5.(2)证明：由(1)，得AD·DM＝2(3－5)＝6－25.又∵AM2＝(5－1)2＝6－25.∴AM2＝AD·DM，即M是线段AD的黄金分割点．15解：(1)对．理由如下：设△ABC中边AB上的高为h.则S△ADC＝12AD·h，S△BDC＝12BD·h，S△ABC＝12AB·h，∴S△ADCS△ABC＝ADAB，S△BDCS△ADC＝BDAD.又∵点D为AB边的黄金分割点，∴ADAB＝BDAD，∴S△ADCS△ABC＝S△BDCS△ADC，10∴直线CD是△ABC的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S1＝S2＝12S，即S1S≠S2S1，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF∥CE，∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高相等，∴S△DEC＝S△FCE.设直线EF与CD交于点G，∴S△DGE＝S△FGC，∴S△ADC＝S四边形AFGD＋S△FGC＝S四边形AFGD＋S△DGE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC.又∵S△ADCS△ABC＝S△BDCS△ADC，∴S△AEFS△ABC＝S四边形BEFCS△AEF，∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．