模拟低通滤波器设计

广州大学物理与电子工程学院第四章IIR数字滤波器的设计4.1模拟低通滤波器设计主要内容一、Butterworth模拟低通滤波器二、ChebyshevI型模拟低通滤波器重点与难点重点1、Butterworth模拟低通滤波器2、ChebyshevI型模拟低通滤波器难点1、Butterworth2、Chebyshev数字滤波器的设计LTI系统：iiNijjMjzazbzH101)(数字滤波器设计目标：由给定的数字滤波器频率特性的指标，确定M和N及系数ai，bj从而得到数字滤波器H(z)。若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。若ai至少有一个非零，则系统为IIR数字滤波器。——将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法(1)将数字滤波器的指标转换为模拟滤波器的指标。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法wp,wsH(s)频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换模拟滤波器的技术要求pw:通带截止频率wS:阻带截止频率dp:通带波动ds:阻带波动pp20lg(1)Ad通带衰减(dB)(PassbandAttenuation)sslg20dA阻带衰减(dB)(StopbandAttenuation)|H(jw)|10通带过渡带阻带pwswsdpd1wG(w)=20lg|H(jw)|dB1、Butterworth模拟低通滤波器滤波器的增益(Gain)函数1、Butterworth模拟低通滤波器1.BW模拟低通滤波器的幅频特性NH2c2)/(11)j(N：滤波器阶数wc：截止频率N=3N=1N=100.707|H(jw)|wwc(1)ω＝0，|H(j0)|=1(4)幅度响应为单调减函数(3)N越大，选择性能越好；(2)|H(jωc)|=0.707，-20lg|H(jωc)|3dB，ωc称3dB截止频率。特点：11、Butterworth模拟低通滤波器2.求系统的极点22c1|()|()()1(/)NHjHjHj/sjsjww令21()22kkjjNNNcseejw22()1Njjkcsejw2c1[/()]0,()()2NsjHsHsNw令可得到的个极点:()221,2,,2kjNNkcsekNw22c1|()|()()1[/()]NHsHsHssjw1、Butterworth模拟低通滤波器极点分布特点：a.2N个极点均匀分布在一个圆心在圆点、半径为ωc的圆上；d.左半平面的N个极点属于H(s)。c.N为偶数时，实轴上无极点，2N个极点组成N个共轭对；N为奇数时，实轴上有极点，分别为(ωc,0)和(-ωc,0)，其余2N-2个极点组成N-1个共轭对；b.极点的分布对称于虚轴，且虚轴上无极点，并且对称于实轴；()221,2,,2jkNNkcsekNw——对应于稳定系统！()221,2,,jkNNkcNsekNw左半平面的个极点：2.求系统的极点1、Butterworth模拟低通滤波器3.求传递函数()22,1,2,,jkNNkcsekNw1()NkkksHsss1、Butterworth模拟低通滤波器4.BW模拟低通滤波器的设计步骤(1)由滤波器设计指标ωP、AP、ωS、AS，确定滤波器的阶数N(2)确定滤波器的3dB截止频率wcpspsc110.10.122(101)(101)AANNS-20lg|()|,-20lg|()|PPSHjAHjAwwSP0.1||0.1||SP101lg()1012lg(/)AANwwS-20lg|()|-20lg|()|PPSHjAHjAww1、Butterworth模拟低通滤波器4.BW模拟低通滤波器的设计步骤(3)确定s左半平面的N个极点(4)确定模拟低通滤波器的系统函数H(s)πππj()22ce;1,2,,kNNkskNw1()NkkksHsss例1：设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器:0.1wp，0.4ws，1dBAp，10dBAs28.1)/lg(2)110110lg(ps1.01.0pswwAAN取N=2，将N=2带入满足通带的方程：4404.0)110(4/11.0pcww解：(1)计算阶数N(2)计算3dB截止频率wc取N=2。解：(3)确定滤波器的2个极点121jπ()22ce;1,2,,;(2)kNkskNNw)22j22(ecπ43jc1wws)22j22(ecπ45jc2wws(4)确定模拟低通滤波器的系统函数H(s)1()NkkksHsss2222cccss2224440.08622.04440.0ss验证：Ap=1dB满足指标；As=18.3dB存在裕量例1：设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器:0.1wp，0.4ws，1dBAp，10dBAs解：c(1)2/2w3jπ41c222e(j)0.50.5222sjw5jπ42c222e(j)0.50.5222sjw(2)确定模拟低通滤波器的系统函数H(s)历年真题：一个2阶模拟巴特沃斯低通滤波器的极点分布在一半径为的圆上。请回答以下问题：（1）滤波器的截止频率ωc为多少？（2）求该滤波器的系统函数H(s)。（3）用双线性变换法将模拟滤波器转换成数字滤波器，列出H(z)化简后的表达式。210.50.50.50.50.5()(0.50.5)(0.50.5)0.5NkkksjjHssssjsjss2/2121jπ()22ce;1,2,,;(2)kNkskNNw2、Chebyshev型模拟低通滤波器)/(11)j(222cNCHwww1])(harccoscosh[1])arccos(cos[)(xxNxxNxCNw|H(jw)|1wcN=2N=3N=7:通带波纹cw:通带截频N:阶数1.CBI型LP的频域特性sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/22112、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器1.CBI型LP的频域特性211(1)cww0时，2)(wjH在1和之间振荡(2)cww时，2)(wjH单调下降(N增大，下降加速）(3)2211)(wcjHN为奇时，1)0(2jHN为偶时，2211)0(jH)/(11)j(222cNCHwww2、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器2.CBI型LP的极点分布221(1)()()1()NcHsHssVjw22(2)1()=0NcsVjw令，得:()(-)2HsHsN得到的个极点：1122221=[(1/1/1)(1/1/1)]2NNcsjw1111-1-211=+1=(),()22NNNNb（3）令，acos()sin(),0,1,......,2122kcckksajbkNNNNNww2、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器3.CBI型LPF极点分布特点(1)H(s)和H(-s)的2N个极点分布在一个中心在原点，长半轴为ωcb(长轴与虚轴重合)，短半轴为ωca(短轴与实轴重合)的椭圆上；(2)极点分布对称于虚轴，且虚轴上无极点，也对称于实轴；(3)N为奇数时，实轴上有极点(-ωca，0)和(ωca，0)，N为偶数时，实轴上无极点。2、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器4.CBI型LPF极点坐标的确定(1)确定纵坐标作一个圆心在原点、半径为ωcb的大圆，在圆上均布2N个点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的纵坐标即是2N个极点的纵坐标。(2)确定横坐标作一个圆心在原点、半径为ωca的小圆，在圆上均布2N个点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的横坐标即是2N个极点的横坐标。2、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器5.CBI型LP的设计步骤(1)由通带截频wp确定截止频率wc(2)由通带衰减Ap确定通带波纹p0.1101A(3)由阻带衰减AS指标确定阶数Ns0.1sp1arccosh(101)arccosh(/)ANwwwcwp2、切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器(4)求滤波器的极点Sk：(21)π(21)π[sinh()sinjcosh()cos],1,2,,22kCkkskNNNwarcsinh(1/)N其中，1021,1,1NkkNkksNHsN（）为奇数（）为偶数sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2(5)由极点确定系统函数H(s)：01()NkkHHsss5.CBI型LP的设计步骤1111-1-211=+1=()()22NNNNab其中，，，cos()sin(),1,......,2222kcckksajbkNNNNNww或者,例2：设计一CBI型模拟低通滤波器，指标为wp=0.158rad/s,ws=0.727rad/s,Ap=1dB,As=10dB(1)求模拟滤波器的截止频率wcSsp1arccosh(101)1.11arccosh(/)ANww取N=2158.0pcww509.0110p1.0A(3)求模拟滤波器的阶数N解:(2)求模拟滤波器的通带波纹解:arcsin(1/)0.714hN0277.0174.00246.02ss(4)确定极点Sk：例4：设计一CBI型模拟低通滤波器，指标为wp=0.158rad/s,ws=0.727rad/s,Ap=1dB,As=10dB(5)求系统函数H(s)：(21)π(21)π[sinh()sinjcosh()cos],1,222kCkkskNNw1ππ[sinh()sinjcosh()cos]0.158[0.714j0.895]44Csw23π3π[sinh()sinjcosh()cos]0.158[0.714j0.895]44Csw01()NkkHHsss122211211=11Nkkksssssssss因为N=2，为偶数1、如何设计IIR数字滤波器？课堂小结1Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器(1)将数字滤波器的指标转换为模拟滤波器的指标。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。频率变换wp,wsH(s)频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换2、如何设计Butterworth滤波器？课堂小结2(1)由滤波器设计指标ωP、AP、ωS、AS，确定滤波器的阶数N(2)确定滤波器的3dB截止频率wcpspsc110.10.122(101)(101)AANNSP0.1||0.1||SP101lg()1012lg(/)AANww(3)确定s左半平面的N个极点(4)确定模拟低通滤波器的系统函数H(s)πππj()22ce;1,2,,kNNkskNw1()NkkksHsss课堂小结33、如何设计Chebyshev滤波器？(1)由通带截频wp确定截止频率wc(2)由通带衰减Ap确定通带波纹p0.1101A(3)由阻带衰减A