循环群的性质研究

淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号20081101142指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，aG，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。关键词：循环群，子群，同构，自同构群StudyonthePropertiesofCyclicGroupsPanShuai(SchoolofMathematicalscience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)AbstractLetGbeagroup,aG.IfeveryelementcanbewrittentheformnawherenZ,thenthegroupisacyclicgroup.Cyclicgroupsisanimportantcontentinthealgebra,alsoakindofgroupwasnearlyresearchedunderstand,thissubjectmainlydiscussedthecyclicgrouprelatedpropertiesandapplication.Thebasicknowledgeofrelevantfirstlybeintroducedinthissubject,thendrawnoutthedefinitionsofcirculationandsomerelatedproperties,discussedthecyclicgroupanditselements,eventherelationsbetweenthesubgroup,andusedthecirculationofthefoundationofthetheorytodiscussthecirculationaboutthehomomorphismandisomorphism,lastlymadeusknowtheconclusionswhatautomorphismgroupofcirculationgroupisanexchangeofgroup.Keywords：cyclicgroup,subgroup,isomorphism,automorphismgroup目录一、引言…………………………………………………1二、群的定义……………………………………………1三、循环群的若干问题…………………………………71、定义与性质………………………………………72、循环群的性质……………………………………83、循环群的判定……………………………………9四、循环群的同态，同构………………………………11五、结论…………………………………………………14参考文献…………………………………………………14致谢………………………………………………………151一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透进自然科学和社会科学的众多理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发展。“高科技本质上是一种数学技术的观念已日益为人们所共识。代数学是探讨元素的运算体系的，这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。群论自十九世纪E．Galois创立以来，不仅成为近世代数的重要分支，而且其应用范围已深入到科学技术各个领域。尤其是自然科学的物理、化学和生物的研究中，群论已成为必不可少的强有力的数学工具。二、群的定义在研究循环群的性质之前，我们来研究一下什么叫群：群的第一定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如I.G对于这个乘法来说是闭的；II.结合律成立：()()abcabc对于G的任意三个元,,abc都对；III.对于G的任意两个元,ab来说，方程axb和yab都在G里有解。2例1G只包含一个元g乘法gggG对于这个乘法来说作成一个群。因为I．G是闭的；II．()()ggggggg；III．gxg有解，就是g；ygg有解，就是g.例2G是群体整数的集合，G对于普通加法来说作成一个群。因为I．两个整数相加还是一个整数；II．()()abcabc；III．,ab是整数的时候，axb，yab有整数解。例3G是所有不等于零的整数的集合，G对于普通乘法来说不作成一个群。因为，固然I．整数乘整数还是整数；II．()()abcabc但32x没有整数解，III不能被满足。但G若是全体不等于零的有理数的集合，那么G对于普通乘法来说作成一个群。现在假定G是一个群。我们证明G有以下性质。IV．G里至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，能让eaa对于G的任何元a都成立。证明：由III，对于一个固定的元b，ybb在G里有解。我们任意取一个解，叫它作e：（1）ebb我们说，对于G的一个任意元a,eaa成立。由III，bxa有解c：（2）bca由（1），（2），II，()()eaebcebcbca这样，我们证明了e的存在。证完。V．对于G的每一个元a，在G里至少存在一个元1a，叫做a的一个左逆元，能让1aae3成立。这里e是一个固定的左单位元。证明由III，yae可解。证完。IV，V两个性质非常重要，因为它们可以代替群的第一定义里的第三条。群的第二定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群，假如I.G对于乘法来说是闭的；II.结合律成立：()()abcabc对于G的任意三个元,,abc都对；IV.G里至少存在一个左单位元e,能让eaa对于G的任何元a都成立；V.对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元1a，能让1aae我们已经看到，由I，II，III可以推出IV，V来。现在我们反过来证明，由I，II，IV，V也可以推出III来，这就是说以上两个定义有同等价值。这一点我们分三步来证明。（i）一个左逆元一定也是一个右逆元。这句话的意思是：由1aae可得1aae因为由V，G有元a，使得1aae所以11111()()()()aaaaeaaeaaaa但111111()()[()]()aaaaaaaaaeaaae所以1aae（ii）一个左单位元一定也是一个右单位元。这就是说：aea对G的任何元a成立。因为1()aaaeaa411()()aaaaaaae所以aea（iii）现在我们证明，axb可解。我们取1xab。由V，1a存在；由I，1abG。G的这个元显然是以上方程的解，因为由II，（i），同V，11()()aabaabebb同样，1ba是yab的解。证完。定义1若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a所生成的，并且用符号()Ga来表示。a叫做G的一个生成元。例1G是所有整数的集合，我们知道G对于普通加法来说做成一个群，这个群我们以下把它叫做整数加群。这个群的全体的元就都是1的乘方，这一点，假如把G的代数运算不用+而用来表示，就很容易看出。我们知道1的逆元是-1，假定m是任意正整数，那么1111111mmmm(1)(1)(1)(1)(1)(1)1mmmm这样G的不等于零的元都是1的乘方。但0是G的单位元，照定义001例2G包含模n的n个剩余类，我们要规定一个G的代数运算，这一次我们把这个代数运算叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。跟从前一样，我们用a来表示a这个整数所在的剩余类。我们规定：（1）abab我们先要看一看，这样规定的+是不是一种代数运算。我们知道，假如aa，bb那么aa，bb照我们的规定，5（2）abab（1），（2）两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：abab那么我们规定的+就不是一种代数运算了。我们说，这种情形不会发生，因为aa，bb就是说()aan，()bbn也就是说naa，nbb因此，()()naabb()()nabab这就是说abab这样，规定的+是一个G的代数运算。但()()abcabcabcabc()()abcabcabcabc这就是说()()abcabc并且00aaa0aaaa所以对于这个加法来说，G作成一个群。这个群叫做模n的剩余类加群。我们以前说过，普通我们用0,1,2，，n-1来作模n的n个剩余类的全体代表团。所以普通也用[0],[1],,[1]n来表示这n个剩余类。这样得到的剩余类加群是循环群，因为[1]显然是G的一个生成元。G的每一个元可写成[],1iin的样子，这样的一个元[][1][1][1]ii我们以上给了两种循环群的例子，这两个例子并不是随意选的，实际上，由于这两个例子我们已经认识了所有的循环群。因为我们有定理1假定G是一个由元a所生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：6a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。证明第一个情形：a的阶无限，这时，hkaa，当而且只当h=k的时候。由h=k，可得hkaa，显然。假如hkaa而hk，我们可以假定hk，而得到hkae，与a的阶是无限的假定不合。这样，kak是G与整数加群G间的一一映射。但hkhkaaahk所以GG第二种情形：a的阶是n，nae，这时，hkaa，当而且只当nhk的时候。假如nhk，那么hknq，hknq()hknqknqknqkqkaaaaaaaea假如hkaa，叫hknqr，01rn，那么hknqrnqrrreaaaaeaa由阶的定义，r=0,也就是说，nhk。这样，[]kak是G与剩余类加群G间的一一映射。但[][][]hkhkaaahkhk所以GG让我们看一看，到现在为止我们对于循环群已经知道了些什么。假如有一个循环群，这个群一定有一个生成元，这个元一定有一个固定的阶。这个阶或是无限大，或是一个正整数n。由于例1和例2，我们知道，生成元的阶是无限大或是一个给定的正整数n的循环群是有的。由定理，我们知道，抽象地来看，生成元的阶是无限大的循环群只有一个，生成元的阶是给定的正整数n的循环群也只7有一个。至于这些循环群的构造，我们也知道的很清楚：假如G=（a），a的阶是无