2014年新课标-I-卷数学试题及答案(理)

2014年高考全国课标1（理科数学word解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|2230xx}，B=22xx，则AB=A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x|2230xx}=13xxx或，B=22xx，∴AB=21xx，选A..2.32(1)(1)ii=A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)ii=2(1)12iiii，选D..3.设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A.()fx()gx是偶函数B.|()fx|()gx是奇函数C.()fx|()gx|是奇函数D.|()fx()gx|是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()Fxfxgx，则()()()Fxfxgx，∵()fx是奇函数，()gx是偶函数，∴()()()()FxfxgxFx，()Fx为奇函数，选C.4.已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】：A【解析】：由C：223(0)xmymm，得22133xym，233,33cmcm设33,0Fm，一条渐近线33yxm，即0xmy，则点F到C的一条渐近线的距离331mdm=3，选A..5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.18B.38C.58D.78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428CA种；②每天2人有246C种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168；选D.6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在[0,]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则PM=sinx，OM=cosx,在RtOMP中，MD=cossin1xxOMPMOPcossinxx1sin22x，∴()fx1sin2(0)2xx，选B..7.执行下图的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.158【答案】：D【解析】：输入1,2,3abk；1n时：1331,2,222Mab；2n时：28382,,3323Mab；3n时：3315815,,28838Mab；4n时：输出158M.选D.8.设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则A.32B.22C.32D.22【答案】：Ｂ【解析】：∵sin1sintancoscos，∴sincoscoscossinsincossin2，,02222∴2，即22，选B9.不等式组124xyxy的解集记为D.有下面四个命题：1p：(,),22xyDxy，2p：(,),22xyDxy,3P：(,),23xyDxy，4p：(,),21xyDxy.其中真命题是A.2p，3PB.1p，4pC.1p，2pD.1p，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2xyz，即122zyx，当直线过2,1A时，min220z，∴0z，∴命题1p、2p真命题，选C.10.已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则||QF=A.72B.52C.3D.2【答案】：C【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵4FPFQ∴34PQPF，又344QMPQPF，∴3QM，由抛物线定义知3QFQM选C11.已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a，2()36fxaxx，令()0fx，得0x或2xa，当0a时，22,0,()0;0,,()0;,,()0xfxxfxxfxaa；且(0)10f，()fx有小于零的零点，不符合题意。当0a时，22,,()0;,0,()0;0,,()0xfxxfxxfxaa要使()fx有唯一的零点0x且0x＞0，只需2()0fa，即24a，2a．选B【解析2】：由已知0a，()fx=3231axx有唯一的正零点，等价于3113axx有唯一的正零根，令1tx，则问题又等价于33att有唯一的正零根，即ya与33ytt有唯一的交点且交点在在y轴右侧记3()3fttt，2()33ftt，由()0ft，1t，,1,()0;1,1,()0;tfttft，1,,()0tft，要使33att有唯一的正零根，只需(1)2af，选B12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥DABC，其中4,42,25ABBCACDBDC，24246DA，故最长的棱的长度为6DA，选C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.8()()xyxy的展开式中22xy的系数为.(用数字填写答案)【答案】：20【解析】：8()xy展开式的通项为818(0,1,,8)rrrrTCxyr，∴777888TCxyxy，626267828TCxyxy∴8()()xyxy的展开式中27xy的项为7262782820xxyyxyxy，故系数为20。14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【答案】：A【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.15.已知A，B，C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为.【答案】：090【解析】：∵1()2AOABAC，∴O为线段BC中点，故BC为O的直径，∴090BAC，∴AB与AC的夹角为090。16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.【答案】：3【解析】：由2a且(2)(sinsin)()sinbABcbC，即()(sinsin)()sinabABcbC，由及正弦定理得：()()()ababcbc∴222bcabc，故2221cos22bcaAbc，∴060A，∴224bcbc224bcbcbc，∴1sin32ABCSbcA，三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)由题设11nnnaaS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa…………6分（Ⅱ）由题设1a=1，1211aaS，可得211a，由(Ⅰ)知31a假设{na}为等差数列，则123,,aaa成等差数列，∴1322aaa，解得4；证明4时，{na}为等差数列：由24nnaa知数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4的等差数列2143mam令21,nm则12nm，∴21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4的等差数列241mam令2,nm则2nm，∴21nan(2)nm∴21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得{na}为等差数列.………12分18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.【解析】：(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s150…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而(187.8212.2)PZ(20012.220012.2)0.6826PZ………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)XB，所以1000.682668.26EX………12分19.(本小题满分12分)如图三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC.(Ⅰ)证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，AB=BC求二面角111AABC的余弦值.【解析】：(Ⅰ)连结1BC，交1BC于O，连结AO．因为侧面11BBCC为菱形，所以1BC1BC，且O为1BC与1BC的中点．又1ABBC，所以1BC平面ABO，故1BCAO又1BOCO，故1ACAB………6分（Ⅱ）因为1ACAB且O为1BC的中点，所以AO=又因为AB=，所以BOABOC故OA⊥，从而OA，OB，1OB两两互相垂直．