泛函分析解答(张恭庆)第四章

实变函数与泛函分析第四章习题1-181第四章习题1.在1中令1(x,y)=(xy)2，2(x,y)=|xy|1/2，，问1,2是否为1上的距离？[解]显然1,2满足距离空间定义中的非负性和对称性．但1不满足三角不等式：取点x=1,y=0,z=1，则1(x,z)=42=1(x,y)+1(y,z)，所以1不是1上的距离。而x,y,z1，2(x,y)=||||2||||||||||yzzxyzzxyzzxyx||||)||||(2yzzxyzzx=2(x,z)+2(z,y)；所以2是1上的距离．2.设(X,)是距离空间，令1(x,y)=nyx),(，x,yX．证明(X,1)也是距离空间．[证明]显然1满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明1满足三角不等式即可．实际上x,y,zX，nnyzzxyxyx),(),(),(),(1nnnnnyzzxnzyxMyzzx)),(),((),,,(),(),(),(),(),(),(11yzzxyzzxnn．3.设(X,)是距离空间，证明|(x,z)(y,z)|(x,y)，x,y,zX；|(x,y)(z,w)|(x,z)+(y,w)，x,y,z,wX．[证明]x,y,z,wX，由三角不等式有(x,y)(x,z)(y,z)(x,y)，故第一个不等式成立．由第一个不等式可直接推出第二个不等式：|(x,y)(z,w)||(x,y)(y,z)|+|(y,z)(z,w)|(x,z)+(y,w)．4.用Cauchy不等式证明(|1|+|1|+...+|n|)2n(|1|2+|1|2+...+|n|2)．[证明]在P159中的Cauchy不等式中令ai=|i|，bi=1，i=1,2,...,n即可．5.用图形表示C[a,b]上的S(x0,1)．[注]我不明白此题意义，建议不做．6.设(X,d)是距离空间，AX，int(A)表示A的全体内点所组成的集合．证明int(A)是开集．[证明]若A=，则int(A)=，结论显然成立．若A，则xA，r0使得S(x,r)A．对yS(x,r)，令s=rd(x,y)，则s0，并且S(y,s)S(x,r)A；所以yint(A)．故S(x,r)int(A)，从而int(A)是开集．实变函数与泛函分析第四章习题1-1827.设(X,d)是距离空间，AX，A．证明：A是开集当且仅当A是开球的并．[证明]若A是开球的并，由于开球是开集，所以A是开集．若A是开集，xA，存在r(x)0，使得S(x,r(x))A．显然A=xAS(x,r(x))．8.举例说明对于一般的距离空间X，并不是总有),(),(rxSrxS，xX，r0．[例]设X={a,b}，定义d:XX为d(a,a)=d(b,b)=0，d(a,b)=1．则(X,d)是距离空间．当r=1时，不论x为a还是b，总有),(}{),(rxSXxrxS．9.设(X,d)是距离空间，XBA,．证明：BABA，BABA．[证明]由于AA，BB，故BABA．由于A和B都是闭集，所以BA也是闭集，所以BABA．另一方面，由BABA,，得BABA,，所以BABA；这样就证明了第一个等式．由BABA,得BABA,，所以BABA。10.证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并．[证明]由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可．设(X,d)是距离空间，AX，A是闭集．若A=则结论显然成立，下面设A．n+，定义An=xAS(x,1/n)，则An是开集，且AAn．因此AnAn．若xA，则由于A是闭集，N+，使得S(x,1/N)A=；即xAN，，所以xnAn．这样就证明了A=nAn．因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交．11.设(X,d)是距离空间，}{nx是基本列，且有收敛子列xxkn．证明xxn．[证明]0，由于}{nx是基本列，存在自然数N，当Nnm,时2),(nmxxd．由于子列xxkn，存在自然数K，当Kk时，Nnk且2),(xxdkn．当Nn时，因NnK1，故2),(1Knnxxd，2),(1xxdKn，从而),(xxdn．12.设在非空集合X上定义了两种距离d和1d，且存在正数a和b，使得对任意的x,yX总有ad1(x,y)d(x,y)bd1(x,y)．证明：在距离空间(X,d)和(X,d1)中，基本列与收敛点列是共同的．并举出这种空间的例子．[证明]设{xn}是(X,d)中的基本列，则对0，N+，当m,nN时d(xm,xn)a．此时有d1(xm,xn)d(xm,xn)/aa/a=，所以{xn}也是(X,d1)中的基本列．相反方向的证明是类似的．关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似．一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X,d)中定义新的距离d1，实变函数与泛函分析第四章习题1-183使得d1=2d．13.设X是正整数集合，令d(x,y)=|x–y|，，证明(X,d)是完备距离空间．[证明]首先从距离定义看，(X,d)实际上是1的子空间，当然是距离空间．因1是完备的，而X又是1中闭集，所以(X,d)是完备距离空间．14.设X是正整数集合，令d(x,y)=|1/x–1/y|，证明(X,d)不是完备距离空间．[证明]首先直接验证可知(X,d)是距离空间．n+，设xn=n．则{xn}是(X,d)中的基本列．若{xn}收敛于xX，则d(xn,x)0，即|1/xn–1/x|0(当n时)．由此推出1/x=0，而这是不可能的．所以基本列{xn}不收敛，因此(X,d)不是完备距离空间．15.证明：离散距离空间(X,d)是完备距离空间．[证明]设}{nx是(X,d)中的基本列，则存在自然数N，当Nnm,时1),(nmxxd．由离散距离空间定义知，0),(nmxxd，所以应有nmxx；即从1N项开始}{nx为常序列，因此}{nx必为收敛列．所以(X,d)是完备距离空间。16.证明：c是可分的完备距离空间．[证明]首先证明c是完备距离空间．设}{nx是基本列，0，存在自然数N，当Nnm,时),(nmxxd．记)()(ninx，则||)()(mini，（1i）．可见对1i，数列}1|{)(nni是1R中的基本列，因此设inni)(，并记)(ix．显然当Nn时，1i有||)(ini，取1Nn则1i有||)1(iNi．由于)()1(1NiNx是收敛列，存在NM使得当Mnm,时，||)1()1(NmNn．此时3||||||||)1()1()1()1(mNmNmNnNnnmn．故)(ix是1R中的基本列，所以cx．由前面可见，0，存在自然数N，当Nn时1i有||)(ini，故有||sup)(1inii，即),(xxdn，所以基本列}{nx是收敛的．下面证明c是可分的．在c中，令}|)({NiiiNiNxA有使得为有理数，存在自然数．则A显然为可数集，且A在c中稠密，所以c是可分的．17.证明：s是可分的完备距离空间．[证明]首先证明s是完备距离空间．设}{nx是基本列，0，存在自然数N，当Nnm,时),(nmxxd．实变函数与泛函分析第四章习题1-184记)()(ninx，容易看出1i，数列}1|{)(nni是1R中的基本列，因此设inni)(，并记)(ix．注意1)()()()(||1||21iminiminii，故Miminiminii1)()()()(||1||21(对任意自然数M)．令m得到Miiniinii1)()(||1||21，(对任意自然数M)．所以有),(xxdn．即基本列}{nx是收敛的．下面证明s是可分的．在s中构造A如下：}0|)({不为为有理数，只有有限项iixA．显然A为可数集，且A在s中中稠密，所以s是可分的．18.从集合的角度看，ms，但s是可分的而m不是可分的，这能给我们什么启迪？[答]距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的．19.证明：)1(plp中的集合A是列紧集的充要条件是下面两条同时成立：1）存在0K，使得对任意的Axi)(有Kipi1||，2）对任意的0，存在自然数N，使得对任意的Axi)(有pNipi1||．[证明]若A是列紧集，则A是全有界集，第一个条件显然成立．设}1|)({)(mnxnin是A的有限2网，则存在自然数N使pNipni)2(||1)(，对mn,,2,1．对Axi)(，存在mnn001:，使得2),(0xxdn．那么2),()||()||()||(00011)(11)(11xxdnpNipinpNipniipNipi，从而第二个条件成立．反过来，假设集合A满足这两个条件，设},2,1|)({)(nxnin是A中任意一个点列，由第一个条件，对任意的,2,1i，数集}{)(ni有界，存在自然数列的子列}{1kn使}{)(11kn收敛于1．又存在}{1kn的子列}{2kn使}{)(11kn收敛于2，等等如此下去．令)()(jjjjninx，利用第二个条件容易证明}{jjnx是基本列．令)(ix，利用第一个条件可以证明plx，并且}{jjnx收敛于x．即可在},2,1|)({)(nxnin中选出收敛子列，所以集合A是列紧集．20.证明：s中的集合A是列紧集的充要条件是：对任意自然数i，存在0ic使实变函数与泛函分析第四章习题1-185得，对任意的Axi)(有iic||．[证明]若存在自然数i，对任意的0M，存在Axi)(使得Mi||．这样就可以做一个A中的序列)()(ninx使得nni||)(．若}{nx有子列}{knx收敛，设其极限为)(iy，则因021||1||21)()(iiniiniikk，所以),(yxdkn不收敛于零，得到矛盾，所以}{nx没有收敛子列，即A不是列紧集，必要性得证．下面证明充分性．设对任意自然数i，存在0ic使得，对任意的Axi)(有iic||．设}{nx是A中任一序列，存在}{nx的子列)}({)1,(1,ninx使1)1,(1n，下一步，存在}{1,nx的子列)}({)2,(2,ninx使得2)2,(2n，依次做下去；然后考虑}{nx的子列}{,nnx，则它的第i个坐标收敛于i．令}{iy，显然}{,nnx收敛于sy．所以A是列紧集．21.设(X,d)是距离空间，AX，令f(x)=Ayinfd(x,y)，xX．证明f是连续函数．[证明]x1,x2X，0，y1,y2A，使得d(x1,y1)f(x1)，d(x2,y2)f(x2)．由于d(x1,y1)f(x1)d(x1,y2)，d(x2,y2)f(x2)d(x2,y1)，我们有f(x1)f(x2)d(x1,y2)(d(