14年国赛数模B题优秀论文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：22002038所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员(打印并签名)：1.吴艳琼2.王文琪3.王秋妹指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：朱伟（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1创意平板折叠桌摘要本文主要通过几何数学方法分析平板折叠桌的各设计加工参数在空间上的边角关系，以及各参数之间的相互影响。并用matlab模拟出了折叠桌展开过程的动态图，旨在解决折叠桌最优设计的实际问题。针对问题一，运用了勾股定理及几何中的边角关系等数学方法，建立了3个模型，分别得到最长桌腿与铅垂线的夹角、与槽长、与桌腿边缘点位置的两个函数关系式，以此反应折叠桌的动态变化过程。使用matlab根据线性差值和拟合的方法得到桌腿边缘线的空间曲线。针对问题二，为了得到最优化参数。在问题一的基础上，假设每组桌腿条数为19。以稳固性高且材料少为约束条件来求得最优的平板尺寸，运用物体重心的求法，算得桌子重心的三维坐标表示，因为重心会影响钢筋最优位置，从而得到钢筋在最长桌腿自上往下3/5的位置，考虑到加工方便，根据模型二求得槽长。针对问题三，要求根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，由于桌面边缘线和桌角边缘线都是在直纹曲面上的曲线，所以可以把桌面和桌脚边缘线放在一起考虑。考虑到由客户自主设定，变化情况太多，难于描述。本文只考虑桌面为圆形、桌面边缘线的形状为曲线和直线两种，所以就两种形状的折叠桌进行讨论。本文使用sktch.up画出桌面呈椭圆和菱形时的过程展示图。本文的特色在于简化问题，不用考虑各参数之间的受力情况，而是根据几何关系进行分析，第三问本文只讨论了圆形桌面体系，其有很多的局限性，不适合推广。关键字：线性插值多项式拟合勾股定理matlab几何关系2一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1.给定长方形平板尺寸为120cm*50cm*3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、模型假设（1）地面是平稳的。（2）假设不计钢筋的重量和尺寸。（3）假设实际加工中没有误差。（4）假设材料性能对设计没有影响。（5）平板材质置地三、符号说明符号表示意义符号表示ia第i根木条顶端离桌面圆心的距离i第i条桌腿与铅垂线的ib桌面边缘到槽的距离1G最长桌腿的重心A最长桌腿的中心位置iR开槽长度O桌面的圆心h桌子的高度1l最长桌腿的长度3四、问题分析4.1问题一问题一要求建立模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。因为当长方形平板在折叠过程中，桌腿与地面的夹角、桌腿边缘线也在不断的变化，且存在一定的关系，由于桌子稳定于水平地面时最长腿与铅垂线的夹角与开槽的长度有关。所以对于问题一，本文考虑先求得最长桌腿的长度，进而得到桌子稳定于水平地面时最长桌腿与铅垂线的夹角。再根据桌腿间的几何关系，得到与槽长、与桌腿边缘点位置的两个函数关系式，用这两个函数数关系式就可以反应折叠桌的动态变化过程。4.2问题二问题二要求在桌高70cm，桌面直径80cm的情形，并考虑折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，确定最优设计加工参数。在假设每组桌腿条数为19的条件下考虑此问。因为桌子重心越低其稳固性越好，且在桌面直径给定的条件下，用材取决于桌腿的长度。所以本文以桌子重心、最长桌腿长度衡量其稳定性、用材量。就加工的方便性而言，令所有槽都等于最长槽长，即最短桌腿的槽长。由于桌子重心越低，桌子投影到地面的面积就越大，而最长腿长度越短投影面积越小，那么一定存在一个投影面积使得桌子整体达到最优，此时桌子稳定性好且用材少。4.3问题三问题三要求根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，由于桌面边缘线和桌角边缘线都是在直纹曲面上的曲线，所以可以把桌面和桌脚边缘线放在一起考虑。考虑到由客户自主设定，变化情况太多，难于描述。本文只考虑桌面为圆形、桌面边缘线的形状为曲线和直线两种，所以在这里现就两种形状的折叠桌进行讨论。五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型一的建立与求解已知长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，要将该平板裁剪为桌面呈圆形的折叠桌，由于圆形桌面的对称性和木条的已知宽度，本文假设每组桌腿条数为19，考虑实际裁剪过程，去掉平板两侧长为120cm,宽为1.25cm的两部分（见图1阴影部分）由图1将每根木条对应在半圆内的矩形抽象出来，得到图2，设圆形桌面半径为r，已知木条宽d为2.5cm，那么根据勾股定理：222rdl4图2图1：平板裁剪能求得每根木条对应在半圆形桌面内矩形的长的矩阵LT81.717.1354.1600.1988.2033.2242.2321.2472.2497.24L，，，，，，，，，根据L可求得最长桌腿的长度为52.20cm。因为折叠后桌腿的垂直高度为50cm，所以可求得最长桌腿与铅垂线的夹角19.52。图3：木条对应在半圆形桌面内矩形的长5.1.2模型二的建立与求解由于桌子折叠后最长桌腿与铅垂线的夹角与开槽的长度iR有关，为了得到这两者的关系，本文将最长桌腿OB与任一折叠后的桌腿ACO抽象到同一平面（见图4）,，参照圆桌平面图（图5），根据平面几何关系，可得如下关系式：52211122211sin27.814siniiiiiiiiiilhllabarRRblaRal由上述关系式求出槽长iR与的函数关系为：iiiblalaRsin41212i运用matlab软件求解得到各木条槽长的矩阵TL36.466.737.1060.1240.1480.1584.1653.1787.17，，，，，，，，图4图565.1.3模型三的建立与求解为了得到桌腿边缘线与夹角的关系，模型三也等同于模型二，将最长桌腿与任一桌腿抽象到平面坐标系XOZ坐标系（图6）。图6假设任一桌腿边缘点的坐标系为),(iihx，根据几何关系和相似三角形得到如下关系式：关系式一：1ii11sin()a4222+iiiiiiahlRhRbh关系式二：1tan2iiiiiqehlRneRba通过关系式一求得：iiiibRhRcos1.26cos21.681cos1.26通过关系式二求得：iiiiiiibRaRahx1.26tan上述表达式即反应桌腿边缘点与夹角的函数关系。现在我们将点抽象到三维坐标系xyz中，以桌子折叠好后即桌子稳定于水平地面上的状态为准，此时夹角已知，则运用matlab和excel可得到对应各桌腿边缘点在空间的坐标（见附表1），根据坐标用matlab软件，并使用线性差值方法得到（图7）7图7（1）图7（2）图7（3）5.2问题二5.2.1模型四的建立与求解由于桌子重心越低，桌子投影到地面的面积就越大，而最长腿长度越短投影面积越小，那么一定存在一个投影面积使得桌子整体达到最优，此时桌子稳定性好且用材少。建立三维坐标系(图8)图8：折叠桌的三维坐标8桌子投影到xoy平面得到5432AAAA矩形。根据图形可得如下关系式：15232221tan222BBhAArAAlrBB则可求得该矩形的面积表达式：224tan4lrrrhS底当考虑稳定性时，重心越低稳定性越高，投影的矩形面积越大，而考虑用材少最少时，最长桌腿长度越短用材越少，投影矩形面积越小。因为桌面高度一定，当矩形为正方形时即5232AAAA，达到整体最优，桌子稳定性好且用材少。此时：rlrh22tan将桌高70cm，桌面直径80cm代入上述公式，求得：13.27，最长桌腿的长度65.781l。则得到此时平板尺寸为cmcm803.181。根据模型二求得的槽长iR与的函数关系，解出此时各木条的槽长矩阵，考虑到加工方便，本文令所有槽长都等于最长槽长34.87cm。运用matlab软件，运用仿真技术（见附录），画出折叠桌展开的动态过程（图9）。图95.2.2模型五的建立与求解假设),,(1111zyxG，根据图8，由边角的几何关系可得如下公式：iZDADGGAhGAhDAhDG21121221tansintansin可得到：)sin,,2sin2(21hrhG则第i条桌腿重心的空间坐标为：)sin,44,2sin2(2iiihirhG因为直纹曲面1（位于x轴正半轴）的重心由19条木条重心确定。假设指纹曲面19的重心1g为（111,,zyx），则可得到如下关系：1912111911sin19102sin2191iiiihzyhx由于直纹曲面1和直纹曲面2关于z轴对称，所以直纹曲面2的重心),,(1112zyxg。桌面的重心即为其圆心）（hO,0,0,那么整个桌子的重心G就为Ogg、、21三点空间位置的平均，如下：1