工程力学理论力学约束自由度与广义坐标

问题Dl2r2rOBEAwj观察运动机构所给的运动条件OABDEMjlvDEwO观察运动机构所给条件运动条件约束、自由度与广义坐标一、问题的提出物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统。17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。(两体问题)18世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受约束质点系的动力学问题。今天大量工程实际问题作初步分析时，一般都是受约束系统的建模问题。首先要确定系统独立的运动学变量。研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念。二、约束1.约束概念约束就是限制物体任意运动的条件。不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系,受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。刚体静力学研究约束,是探究约束的原因-------约束力运动学研究约束,是探究约束的结果-------运动的限制FAOxy1cxA2cyA2.独立坐标、位形空间、约束方程的概念(1)坐标确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。(2)位形对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。(3)约束方程约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程。3.约束的分类如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束。单摆:2222lzyx曲面上的质点：0),,(zyxf（1）几何约束与运动约束几何约束约束方程的一般形式：0),,,,(111nnnrzyxzyxfxylOAzxyzM(r=1,2,‥‥,s)运动约束——几何约束0rxj——运动约束ryC纯滚动的圆轮：如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运动约束。约束方程的一般形式0),,,,,,,,,(111111nnnnnnrzyxzyxzyxzyxfCxxyj(r=1,2,‥‥,s)（2）定常约束与非定常约束定常约束当约束方程中都不包含时间t时，这种约束称为定常约束。定常几何约束非定常几何约束若约束方程中明显包含时间t，这种约束就称为非定常几何约束。20222vtlzyx约束方程的一般形式：0),,,,(111nnnrzyxzyxf0);,,,,(111tzyxzyxfnnnrxylOAzAv（匀速）（3）完整约束与非完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速度的投影）的约束，称为完整约束。约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的形式的约束称为非完整约束。〈1〉位移约束----全部几何约束〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。约束方程的一般形式为：sr,,2,10),,,,,,(111nnnrzyxzyxf0),,,,,,;,,,,,,(111111nnnnnnrzyxzyxzyxzyxfsr,,2,1（4）单面约束与双面约束双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束。OA为刚性杆：2222lzyx单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。OA为柔绳：2222lzyx约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：0,,,,,,,,,,,,,,111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnr0,,,,,,,,,,,,,,111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnrxylOAz或0n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：0);,,,,,,;,,,,,,(111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnr(r=1,…,s)约束方程的个数为：s4.约束方程静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。本教材研究：定常、双面、完整约束。例:平面刚体位形的描述方法和约束方程1.刚体基于两点的描述和约束方程OAbOAxyxy位形描述:0Oy0OxAAOOyxyx,,约束方程:222OAyxAA2.刚体基于点线的描述和约束方程位形描述:b,,OOyx0Oy0Ox约束方程:三、广义坐标、自由度自由度：唯一确定质点系空间位置的独立坐标个数平面质点:,snk2空间质点:,3snk广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量),,(21tqqqxxkii),......,(21tqqqyykii),,(21tqqqzzkii),,(21tqqqrrkiii=1,2,······nkqq,q21n个质点，一般地：自由度为k，取广义坐标：1.基本概念自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。2.自由刚体的自由度最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：66)(43（刚杆数）质点数k此后每增加一个质点就增加3根刚杆。63ns每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：63snk设节点数为n,约束数为s。则写成n=4则一般地：snk3n≥4n≥4刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标x0y0z0O绕z0轴转过y角——进动角x1y1z1yy绕x1轴转过q角——章动角z2y2x2qq绕z2轴转过j角——自转角jx3y3z3j3.自由刚体的广义坐标刚体的定点运动的描述方法2—卡尔丹坐标x0y0z0O绕x0轴转过a角x1y1z1aaz2y2x2bb绕y1轴转过b角绕z2轴转过g角z3gy3x3g000,,zyx组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标。它们被用于描述刚体的位形。4.受约束刚体的自由度设刚体数为n，则受约束的空间刚体系的自由度数k=6n-s受约束的平面刚体系的自由度数：k=？若欧拉坐标或卡尔丹坐标的原点（基点）建立平动坐标5.约束刚体的自由度与广义坐标约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。刚体约束情况自由度广义坐标刚体上一轴被固定（定轴转动）1刚体上仅一点被固定（定点运动）3刚体仅被限制作平面平行运动（平面运动）3刚体仅被限制作平行移动（平移）3jyjq,,q,,00yx000,,zyx四实例:机构如图,轮C作纯滚动,试写出约束方程和确定自由度。bsinOAyA3.约束方程(在点O建立直角坐标)1.刚体数目3;2.定轴转动刚体OA;平面运动刚体AB及轮C;总计8个约束方程xy0OxbcosOAxAqrxC2)cos1(sinsincrABOAyDqjb0OyyC=yD-rOABbCrjqDqjb,,,,,,BBAAOOyxyxyx式中：jbsinsinABOAyBjbcoscosABOAxB局部法4.广义坐标5.自由度计算3*31ks广义坐标数为:3n-s=1,即:自由度约束方程数：s=8jqbq或刚体数:n=3选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数OABbCrjqDqq或xyOABbCrjqD整体法:qrxC2cossinsincrABOAyCqjbqjb,,位形描述约束方程:整体法:位形描述约束方程:OABbjqDxy2cossinsincBDABOAqjbqjb,,1sincoscoscBDABOAqjb点D的位置OABbjqDxy0Ox2cossinsincBDABOAqjb0Oyqjb,,,,,,DDAAOOyxyxyx1sincoscoscBDABOAqjb点D的位置总计8个约束方程约束方程：局部法:bsinOAyAbcosOAxAjbsinsinABOAyBjbcoscosABOAxBAxq1q,,,AAAAyxyxcyA2k广义坐标自由度本例为质点与刚体qxAB0lkq2qxy具有同一点问题Dl2r2rOBEAwj本运动机构的自由度OABDEMjlvDEwO本运动机构的自由度五、总结(1)检查刚体(质点)数目n。(2)检查各刚体的运动形式。(3)列写出约束方程。(4)计算自由度,确定广义坐标。(a)空间刚体系k=6n-s，空间质点系k=3n-s(b)平面刚体系k=3n-s,平面质点系k=2n-s实用方法：加锁大胆的假设小心的求证xylOAzDl2r2rOBEAwj分析本机构的自由度OABDEMjlvDEwO分析本机构的自由度