函数的零点与方程的解

姚为凤下列方程有实数根吗？问题1：方程存在实数根吗？lnx+2x-6=03x-1=0(1)一、生成概念在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题.约公元50年—100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法…前面两章我们学习了函数的知识，那么函数和方程有什么关系呢？面对一个实际问题，我们又该选择什么函数模型来加以解决呢？这正是第三章《函数的应用》所要解决的问题！让我们从下面的问题开始吧！(2)x2-2x-3=0(3)2x+3=0(4)**试问还有其它方法判断方程x2-2x-3=0有实数根吗？f(x)=x2-2x-3同样地，我们可以判断2x+3=0无实数根！**方程f(x)=0的实数解函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标1.函数的零点定义：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数y=f(x)的零点注意：函数的零点不是点，而是数。**2.函数的零点与方程的实数解关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点等价关系零点的求法代数法图象法函数y=f(x)的图象与x轴有交点数形**练习1：(2)函数y=lg（x+1)-1的零点是_______(3)函数y=2x的零点个数是_______9(1)函数f(x)=x(x2－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0)B．0，2C．(–2，0)，(0，0)，(2，0)D．–2，0，2D**0个*()yfx如果函数在区间[a,b],怎样才能保证在[a,b]上有零点？探究二：f(x)=x2-2x-3观察1函数f(x)=x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况.（1）f(-2)f(1)__0,函数在开区间（-2，1）内有零点-1；函数在开区间（1，4）内有零点3；（2）f(1)f(4)__0,二、发现定理**观察2函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.（1）f(a)f(b)__0,函数在开区间（a，b）内有零点；函数在开区间（b，c）内有零点；（2）f(b)f(c)__0,函数在开区间（c，d）内有零点；（3）f(c)f(d)__0,**抽象为一般化如果函数y=f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根的图象是连续不断的一条曲线，并且函数零点存在定理**概念生成辨析2：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？辨析3：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，函数y=f(x)在(a,b)上有零点,那么f(a)f(b)﹤0？*辩析1.若f(a)f(b)﹤0，函数f(x)在区间(a,b)上一定有零点吗？由f(2)0,f(3)0，则f(2)·f(3)0，所以函数在区间(2,3)内有零点.又函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以函数至多有一个零点；解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219综上，函数有且仅有一个零点.三、学以致用**解法二：例1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数。方程lnx+2x－6=0根的个数方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数等价于等价于等价于**•一般化结论：*（1）定理的条件有：连续和异号，两点都具备，就能断定有零点，而少了任何一个就不能肯定有无零点了！要作进一步判断！（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也要作进一步判断！注意：对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点.（可以用函数图象、定理等）方法提炼：**（2）判断函数零点的个数.2()lnfxxx练习2（1）判断函数f(x)=ex-x-3在区间[1,2]上是否存在零点.四、巩固练习**（1）一个定义：函数的零点一个定理：零点存在定理六、小结提高（3）渗透了函数与方程、数形结合等的思想（2）判断函数零点是否存在可以考虑用：函数图象、零点存在定理等**我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6的唯一零点在（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？课后探究:作业：全品七、留有余味**