小学数学解题方法：和差问题

小学数学解题方法：和差问题已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。和差问题的解题规律为：两数和加上两数差便是大数的2倍；两数和减去两数差是小数的2倍。因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。解答的关键在于找出这两个数的和与差，若题目中没有直接告诉两数的和与差，需先求出两数的和或差，然后根据公式求出这两个数．1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。和差问题(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数一、和差问题例题例1：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？分析与解答：我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？分析与解答：题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。解：①爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）②小强的年龄：58-43＝15（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。例3：小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？分析与解答：解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：①语文和数学成绩之和是多少分？94×2＝188（分）②数学得多少分？（188+8）÷2＝196÷2=98（分）③语文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或98-8=90（分）答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例题4.小张和小王共储蓄2000元,如果小张借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元?分析:这样想:小张和小王两人储蓄的总钱数之和是2000元,根据如果小张借给小王200元后,两人储蓄的钱数恰好相等可知,小张比小李多200×2=400(元),400元是两人钱数之差解:1.小张比小王多多少钱?200×2=400(元)2.小张储蓄多少元?(2000+400)÷2=1200(元)3.小王储蓄多少元?2000-1200=800(元)答:小张储蓄1200元;小王储蓄800元。例题5.哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。例6．甲、乙两个仓库共存大米80吨．如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正好相等．求原来两个仓库各有大米多少吨？思路分析：这是一个和差问题，已知两个仓库大米吨数和为80吨，而它们的吨数的差没有直接给出．我们可以根据题意画出线段图．从图中可以看出：甲仓比乙仓多2个15吨．甲仓库调出15吨到乙仓库，两仓库大米相等，那么甲、乙两仓库大米的吨数差为15×2＝30(吨)．再根据(和＋差)÷2＝大数，先求出甲仓库大米的吨数＝(80＋30)÷2＝55(吨)，再求出乙仓库大米的吨数：80－55＝25(吨)．例题解答：甲仓库大米的吨数：(80＋15×2)÷2＝55(吨)乙仓库大米的吨数：80－55＝25(吨)答：甲仓库原有大米55吨，乙仓库原有大米25吨．例7．甲、乙两车共有乘客160人，从甲站经乙站开往丙站，在乙站甲车增加17人，乙车减少23人，开往丙站时，两车乘客恰好相等，两车原有乘客各多少人？思路分析：已知两车人数的和为160人，而两车人数的差没有直接告诉我们．我们可以根据题意，画出线段图，求出两车人数的差．从图中可看出，甲车增加17人，乙车减少23人，两车人数相等．甲车没增加17人，乙车没减少23人之前，两车人数相差17＋23＝40(人)，根据和差问题的基本数量关系，可先求出乙车的人数，再求出甲车的人数．例题解答：乙车原来的人数：(160＋17＋23)÷2＝100(人)甲车原来的人数：160－100＝60(人)答：甲车原有60人，乙车原有100人．例8．小王、小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书．问小王、小张各买了多少本书？思路分析：已知两人书的总数为20本，关键在于求差．根据题意，画线段图如下：从图中可以看出：“如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书”，也就是小王的本数减6等于小张的本数加6再减2，从而得出两人相差的书为6＋(6－2)＝10(本)．再根据和差问题的数量关系求出小王、小张原来各买的本数．例题解答：小王比小张多买了：6＋(6－2)＝10(本)小王买的本数：(10＋20)÷2＝15(本)小张买的本数：20－15＝5(本)例9．甲、乙两人同时写字，8小时共写了7600个字，已知甲每小时比乙多写50个，问甲、乙两人每小时各写多少字？思路分析：题目中没有直接告诉我们每小时两人共写字的和，已知两人8小时共写了7600个字，可以先求出每小时两人共写字7600÷8＝950(个)；题目中有“差”每小时甲比乙多写50个．这样利用和差问题的数量关系式求出甲、乙两人每小时各写的字数．例题解答：甲每小时写的字数：(7600÷8＋50)÷2＝500(个)乙每小时写的字数：500－50＝450(个)答：甲每小时写了500个字，乙每小时写了450个字．例10．师傅、徒弟两人合做零件2小时，共生产零件110个，如果分别工作5小时，师傅比徒弟多生产25个．求师傅、徒弟每小时各做零件多少个？思路分析：题目中没有直接告诉我们每小时师傅、徒弟两人所做零件个数的和与差．已知师傅、徒弟两人2小时合做零件110个，可以求出每小时师傅、徒弟两人所做零件个数和，即110÷2＝55(个)；又已知5小时师傅比徒弟多生产25个，可以求出师、徒两人每小时所做零件个数的差，即25÷5＝5(个)．例题解答：师徒两人每小时共做零件的个数：110÷2＝55(个)师徒两人每小时所做零件相差个数：25÷5＝5(个)师傅每小时做零件的个数：(55＋5)÷2＝30(个)徒弟每小时做零件的个数：30－5＝25(个)答：师傅每小时做30个，徒弟每小时做25个．例11．春蕾幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班，大班比中班多分4千克，中班又比小班多分6千克，小班分得多少千克？思路分析：这题从两个数量扩展到3个数量．已知中班比小班多6千克，大班比中班多4千克，从图中可以看出：大班比小班多6＋4＝10(千克)，如果中班减少6千克，大班减少10千克，那么大班、中班、小班总千克数就要减少6＋10＝16(千克)，即49－(6＋4＋6)＝33(千克)，33千克相当于三个小班千克数的和，则小班分得的苹果千克数是33÷3＝11(千克)．例题解答：(49－6－6－4)÷3＝11(千克)答：小班分得苹果11千克．例12．新民小学三年级有甲、乙、丙三个班，已知甲、乙两班共有学生87人，乙、丙两班共有学生90人，甲、丙两班共有学生93人．求甲、乙、丙三个班各有学生多少人？思路分析：题目中的已知条件给出的都是“和”，没有给出“差”．但是，由“甲、丙两班共有学生93人”减去“乙、丙两班共有学生90人”，也就是甲、乙两班学生人数的差93－90＝3(人)．甲班比乙班多93－90＝3(人)例题解答：甲班学生人数是：(87＋3)÷2＝45(人)乙班学生人数是：45－3＝42(人)丙班学生人数是：93－45＝48(人)答：甲班有学生45人，乙班有学生42人，丙班有学生48人．这题也可以按照甲、丙两班或乙、丙两班所组成的和差问题求解；还可以先求出三个班共有(87＋90＋93)÷2＝135(人)，再分别求出各班的学生人数．大家不妨试一试，看看结果是否相同．方法指导：对于三个或三个以上的数的和差问题，有的要确定标准，搞清总和相当于标准数的几倍；有的可以转化为两个数的和差问题来求解．二、和差问题训练1、典型基础题（1）、两个数的和是51，差是15，求大小两数各是多少？（2）、两个连续双数的和为126，求这两个数各是多少？（3）、王洁和弟弟一起跳绳，两人一共跳了236下，弟弟比王洁少跳38下，求两人各跳多少下？（4）、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？（例1）2、提高练习（1）、甲、乙两班共有84人，从甲班调6人到乙班，则两班人数相等。原来甲班、乙班各有学生多少人？（2）、今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？（例2）（3）、甲、乙共有铅笔22支，甲用去了5支，乙用去了4支，这时甲比乙还多1支。甲、乙原来各有铅笔多少支？（4）、甲、乙两人同时写字，8小时共写了7600个字，已知甲每小时比乙多写50个，问甲、乙两人每小时各写多少字？（例8）（5）、小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？（例3）（6）、小张和小王共储蓄2000元,如果小张借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元?（例4）3、奥数练习（1）、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？（例5）（2）、甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？（3）、甲、乙两个仓库共存大米80吨．如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正好相等．求原来两个仓库各有大米多少吨？（例6）（4）、甲、乙两车共有乘客160人，从甲站经乙站开往丙站，在乙站甲车增加17人，乙车减少23人，开往丙站时，两车乘客恰好相等，两车原有乘客各多少人？（例7）（5）、春蕾幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班，大班比中班多分4千克，中班又比小班多分6千克，小班分得多少千（例11）（6）、在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是388，减数比差大16。减数、差各是多少？（7）、新民小学三年级有甲、乙、丙三个班，已知甲、乙两班共有学生87人，乙、丙两班共有学生90人，甲、丙两班共有学生93人．求甲、乙、丙三个班各有学生多少人？（例12）（8）、三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？