第6章--西姆松定理及应用(含答案)

第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）．证明如图6-1，设P为ABC△的外接圆上任一点，从P向三边BC，CA，AB所在直线作垂线，垂足分别为L，M，N．连PA，PC，由P，N，A，M四点共圆，有βαγβLMAPBNC图6-1PMNPANPABPCBPCL．又P，M，C，L四点共圆，有PMLPCL．故PMNPML，即L，N，M三点共线．注此定理有许多证法．例如，如下证法：如图6-1，连PB，令PBC，PCB， PCM，则PAM，PAN，PBN，且cosBLPB，cosLCPC，cosCMPC，cosMAPA，cosANPA，cosNBPB．对ABC△，有coscoscos1coscoscosBLCMANPBPCPALCMANBPCPAPB．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知L，N，M三点共线．西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）．西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上．证明如图6-1，设点P在ABC△的三边BC，CA，AB所在直线上的射影分别为L，M，N，且此三点共线．由PNAB于N，PMAC于M，PLBC于L，知P，B，L，N及P，N，A，M分别四点共圆，而AB与LM相交于N，则PBCPBLPNMPAM，从而P，B，C，A四点共圆，即点P在ABC△的外接圆上．【典型例题与基本方法】1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例1如图6-2，过正ABC△外接圆的AC上点P作PD直线AB于D，作PEAC于E，作PFBC于F．求证：111PFPDPE．PEFABCD图6-2证明由PD直线AB于D，PEAC于E，PFBC于F，知A，E，P，D及E，F，C，P分别四点共圆，则60DPEBAE， 60EPFECF．由西姆松定理，知D，E，F三点共线，从而以P为视点，对PDF△应用张角定理，有sinsinsinDPFDPEEPFPEPFPD，即sin120sin60sin60PEPFPD，故111PFPDPE．例2如图6-3，设AD，BE，CF为ABC△的三条高线，自D点作DPAB于P，DQBE于Q，DRCF于R，DSAC于S，连PS．求证：Q，R在直线PS上．QHESRABDCPF图6-3证明由于BFH△的外接圆为BDHF，而D为该圆上一点，且D在BFH△三边所在直线上的射影分别为P，Q，R，于是，由西姆松定理知P，Q，R三点共线．同理，可证Q，R，S是HEC△的西姆线上三点．由于直线PQR与直线QRS有两个公共点Q，R，所以这两直线重合，故Q，R在直线PS上．例3如图64，设P为ABC△外接圆上一点，作PABC交圆周于A，作PB直线AC交圆周于B，作PCAB交圆周于C．求证：AABBCC∥∥．LMPNABCC'B'A'图6-4证明设PABC于L，PB上直线AC于N，PCAB于M，则由西姆松定理知L，M，N三点共线．注意到L，B，P，M及A，B，P，A分别四点共圆，连BP，则AMNBMLBPLBPABAA，于是AALN∥．同样，注意到A，B，P，B及A，M，P，N分别四点共圆，连PA，则ABBAPBAPNAMN，于是BBLN∥．由A，P，C，C四点共圆，知180ACCAPC．注意到APCAPMANMCNM，则180ACCCNM，于是CCLM∥，故AABBCC∥∥．例4如图6-5，设P为ABC△外接圆上BC内一点，过P作PDBC于D，作PF直线AB于F，设H为ABC△的垂心．延长PD至P，使PDPD．求证：HPDF∥．（1979年山西省竞赛题改编）MA'HP'PABCDFEH'图6-5证明连AH并延长交BC于A，交圆于H，则由HCBBAHBCH，知HAAH．又由已知PPBC，且PDDP，连PH，则知PH与PH关于BC对称，从而PHHPHH．由于从P点已向ABC△的两边所在直线AB，BC引了垂线PF，PD，再过点P向边AC所在直线作垂线PE，垂足为E，则由西姆松定理，知F，D，E三点共线，设西姆松线EF与HA交于M．此时，又由P，C，E，D四点共圆，有CPECDE．在RtPCE△中，CPE与PCE互余；在RtMDA△中，ADMCDE与DMA互余．故DMAPCEPCAPHHPHH，由此即知HPEF∥，故HPDF∥．例5如图66，设P为ABC△外接圆上一点，过点P分别作PLBC于L，作PN直线AB于N，直线LN交BC边上的高线于K，设H为ABC△的垂心．求证：PKLH∥．FPMHSQBDGLCAK图6-6N证明由于从P点引了ABC△的边BC，BA所在直线的垂线，再过P点作PMAC于M，则由西姆松定理，知L，M，N三点共直线，即L，M，N，K四点共线．设BC边上的高线为AD，延长AD交圆于F，连PF交BC于G，交西姆松线NL于Q，连PH交西姆松线NL于S．由P，C，L，M四点共圆及A，F，C，P共圆，连PC，则MLPMCPAFPLPF，从而QPQL，即Q为RtPLG△的斜边PG的中点．连HG，由DFCABCDHC，知HDDF，有HGDDGFLGPQLG，从而HGML∥，即SQ是PHG△的中位线，亦即HSSP．又PLKH∥，有LPSKHS及PSLHSK，于是PSLHSK△△≌，即有PLKH∥，亦即四边形PKHL为平行四边形，故PKLH∥．注由此例可得，三角形外接圆周上一点P与垂心H的连线段PH，被关于P点的西姆松线所平分，这是西姆松线的一条重要性质．2．注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理例6如图67，延长凸四边形ABCD的边AB，DC交于E，延长AD，BC交于F．试证：BCE△，CDF△，ADE△，ABF△的四个外接圆共点．EMPRSDBCA图6-7FQ证明设BCE△与CDF△的两个外接圆除交于点C外，另一交点为M．设点M在直线BE，EC，BC上的射影分别为P，Q，R，则由西姆松定理，知P，Q，R三点共线．同样，M点在直线DC，CF，DF上的射影Q，R，S也三点共线，故P，Q，R，S四点共线．在ADE△中，P在AE上，Q在DE上，S在边AD所在直线上，且P，Q，S三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知M点在ADE△的外接圆上．在ABF△中，P在直线AB上，R在BF上，S在AF上，且P，R，S三点共线，由西姆松定理的逆定理，知M点在ABF△的外接圆上．故BCE△，CDF△，ADE△，ABF△的四个外接圆共点．注此例题的结论实际为宪全四边形ABECFD的四个三角形AED△、BEC△、CFD△、ABF△的外接圆共点，此点称为密克尔(Miquel)点，直线PQRS称为完全四边形的西姆松线．【解题思维策略分析】1．证明点共线的又一工具例7如图68，设P为四边形1234AAAA外接圆上任一点，点P在直线12AA，23AA，34AA，41AA，上的射影分别为1B，2B，3B，4B，又点P在直线12BB，23BB，34BB，41BB上的射影分别为1C，2C，3C，4C．求证：1C，2C，3C，4C共线．QPB1B4B3B2C4C3C2C1A2A3A4A1图6-8证明连13AA，过P作13AA的垂线，垂足为Q．从而，点P关于123AAA△的西姆松线为12BBQ同样，点P关于134AAA△的西姆松线为34BQB．由14111ABPAQPABP，知点P在14QBB△的外接圆上，由西姆松定理，知点P在14QBB△三边上的垂足1C，3C，4C共线．同理，1C，2C，4C三点也共线．故1C，2C，3C，4C四点共线（此直线称为P点圆内接四边形关于1234AAAA的西姆松线）．2．注意西姆松线在转化问题中的媒介作用例8如图69，设P为ABC△外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在直线的对称点分别为1P，2P．求证：直线12PP经过ABC△的垂心H．P2P1BHLCP图6-9N证明由于1P，2P分别为P点关于直线BC，AC的对称点，设1PP交直线BC于L，2PP变直线AC于N，则L，M分别为P点在ABC△的边BC，CA所在直线上的射影，且L，N分别为线段1PP，2PP的中点．由西姆松定理，知LN为西姆松线，此时2LNPP∥．又由前面例5知，当H为ABC△的垂心时，直线LN平分线段PH．于是，可知H点在直线12PP上，即直线12PP经过H点．例9如图610，一条直线L与圆心为O的圆不相交，E是l上一点，OEl，M是l上任意异于E的点，从M作O的两条切线分别切圆于A和B，C是MA上的点，使得ECMA，D是MB上的点，使得EDMB，直线CD交OE于F．求证：点F的位置不依赖于M的位置．（IMO35预选题）图6-1032O1BQGADNMClE证明令OEa，O的半径为R，连结EA，EB，OA，OB，OM，AB，设AB交OM于G，交OE于Q，则，OAMA，OBMB，OMAB．由射影定理，得2OGOMOB，又由M，E，Q，G四点共圆，有22OQOEOGOMOBR，从而知2ROQa，由2OBOQOE，有OEBOBQ△∽△，既有BEOOBQBAO，即123．由此得(901)903180MEBMAB（），故A，B，E，M四点共圆．作ENAB交AB的延长线于N，由西姆松定理，知C，D，F，N四点共线．注意到A，N，E，C与A，O，E，M均四点共圆，有ENFEAMEOM又由ENOM∥，有ENFNEF，故ENFNEF．在RtNEQ△中，由上推知F为EQ的中点，因此，2211===222aREFEQOEOQa．故F的位置不依赖于M的位置．例10已知锐角ABC△，CD是过点C的高线，M是边AB的中点，过M的直线分别与CA、CB交于点K、L，且CKCL．若CKL△的外心为S，证明：SDSM．(2003年波兰奥林匹克题)证明如图6-11，作ABC△的外接圆，延长CS交ABC于点T，联结TM，作TKAC于点K，TLBC于点L．图6-11L'LSDBMAK'KC注意到S为KLC△的外心，且KCLC，所以CS为KCL的平分线．于是T为弧AB的中点．又M为AB的中点，则TMAB．由西姆松定理，知K、M、L三点共线．又CT是KCL的角平分线，且K、L、M三点共线，则CKCL．即直线KML是过M与CT垂直的直线，又直线KML也是过M与CS垂直的直线，从而K与K重合，L与L重合．即90CKTCLT，亦即知C、K、T、L四点共圆．故S为四边形CKTL的外接圆圆心，即有SCST，于是S为TC的中点．又CDAB，则CDMT∥．故SMSD．3．注意西姆松线性质的应用三角形外接圆上一点的西姆松线平分该点与三角形垂心的连线．此性质已在例5给出一种证法，现另证如下：如图6-12，设H为ABC△的垂心，P为其外接圆上一点，作HBC△的外接圆HBC，则该圆与ABC关于BC对称(参见垂心性质7)．P'LHQMPABCN图6-12设点P的垂足线（即西姆松线）为LMN，由P、B、L、M四点共圆，有PLMPBM设HBC与直线PL交于点P、Q，则L为PP的中点，连HP，由LPHQH的度数PA的度数PBAPBMPLM，知PHLMN∥．由此即知PH被直线LMN平