第十一讲托勒密定理和西姆松定理

第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD内接于圆，则有AB∙CD+AD∙BC=AC∙BD；定理：在四边形ABCD中，有AB∙CD+AD∙BC≥AC∙BD，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。【解析】在四边形ABCD内取点E，使∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，则：∆ABE和∆ACD相似，所以ABAC=BECD⟹AB∙CD=AC∙BE，又因为ABAC=AEAD且∠BAC=∠EAD，所以∆ABC和∆AED相似，所以AB∙CD+AD∙BC=AC∙(BE+ED)，所以AB∙CD+AD∙BC≥AC∙BD，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。1.1直接应用托勒密定理例1如图所示，P是正△ABC外接圆的劣弧BĈ上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．1.2完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．1.3构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．EDCBA1.4巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．【解析】：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴ACD̂=BDĈ∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是BD̂=AĈ，则BD=AC=b依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①，而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②，比较○1○2得CD=b=BD，CD̂=BD̂，∠3=∠1=∠2，∴∠BAC=2∠ABC．1.5巧变形妙引线借肋托勒密定理例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，求证：1AB+1AC=1BC。【解析】：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD，易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，两端同除以AB∙BC∙AC，得1AB+1AC=1BC。二、西姆松定理西姆松定理：若从∆ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。证明：连接DE、DF，显然，只需证明∠BDE=∠FDC，即可；因为∠BDP=∠BEP=90°，所以B、E、P、D四点共圆，所以∠BDE=∠BPE，同理可得：∠FDC=∠PFC，又因为∠BEP=∠PFC=90°，且∠PFC=180°−∠PBA=∠PBE，所以∠BPE=∠FPC，所以∠BDE=∠FDC，所以D、E、F三点共线。西姆松逆定理：从一点P向∆ABC的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足L、M、N在同一直线上，则P在∆ABC的外接圆上。例7设∆ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上。【解析】设∆ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆，因为由西姆松定理有：Q、R、S三点共线，又因为O、F、B、D四点共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线，所以P、Q、R、S四点共圆例8四边形ABCD是圆内接四边形，且∠D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。【解析】作BG⊥DC，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为∠BFD=∠FDG=∠DGB=90°，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线FG平分另一条对角线BD。例9求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。【解析】如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G，所以∠BGF=∠BGC+∠CGF=∠BEC+∠CDA，所以∠BGF+∠A=180°，即圆ABF过点G，同理圆AED也过点G，所以元BCE、元CDF、元ABF，元AED交于同一点G，若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上。例10四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CDA是直角，若从B点作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E，F，求证：EF或其延长线平分BD；【解析】由B作DC的垂线BG，由西姆松定理可知E、F、G共线，所以∠BFD=∠FDG=90°，四边形BGDF是矩形，BD被另一对角线FG所平分。