中考数学教学指导：二次函数中平行四边形存在性问题

二次函数中平行四边形存在性问题与二次函数有关的存在性问题是初中数学中的热点问题之一，笔者在此也谈谈这类题型的基本思路和解题技巧.在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题:(l)已知三点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“三定一动”).(2)已知两个点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(下文简称“两定两动”).平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序.解决这类问题的关键是要掌握好基本思路和解题技巧.一、基本思路(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同);(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置);(3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)，可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”.二、解题攻略(1)如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点.(2)如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，可将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.三、解题技巧(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解;(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决;(3)灵活运用平行四边形的中心对称性，可使问题变得简单，四、应用举例例1如图1，已知抛物线223yxx与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为P.若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.思路①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型.②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征;A、C、P为定点，M为坐标平面内一动点;确定位置的方法是:将以三个定点为顶点画APC;过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M点.③利用几何特征计算:分析几何特征，建等式求解点M坐标.图1图2解(1)确定位置:如图2.①以A、C、P三个定点为顶点画APC；②过点A作PC的平行线，过点P作AC的平行线，过点C作AP的平行线;三条直线相交于1M，2M，3M.(2)代数法求解点M的坐标；如图2，设点1(,)Mmn，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等，可得043n，解得1n，即1(4,1)M.30(1)m，4m.同理，可得2(2,1)M,3(2,7)M.综合知，点M的坐标为:(4,1),(2,1),(2,7).例2在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0)A，(0,4)B，(2,0)C三点.P为抛物线上一动点，Q为直线yx上一动点，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的横坐标.图3图4思路①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“两定两动”题型.②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征;O、B为定点.P、Q为坐标平面内两动点，确定位置的方法是:将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.③利用几何特征计算：分析几何特征，建等式求解点Q坐标.解(1)确定位置.①以线段OB为平行四边形的边，将线段OB沿任意方向平移使得线段两端点分落在抛物线和直线yx上，如图3;.②以线段OB为平行四边形对角线，将直线PQ绕线段OB中点旋转360寻找满足题意的动点，如图4.(2)代数法求解点Q的坐标.设抛物线的解析式为(4)(2)yaxx.把点B的坐标代入上式，得12a，211(4)(2)422yxxxx.①如图3，当OB为边时，OB//PQ,且4OBPQ.设点Q的横坐标为m,则(,)Qmm,21(,4)2Pmmm,21242QPmm或21242QPmm.由212442mm，得225m(均符合题意);由212442mm，得4m或0m(舍去).②如图4，当OB为对角线时，记OB的中点为D,则(0,2)D，且点D为44PQ的中点.设点400(,)Pxy,4(,)Qnn，由中点坐标公式，得022yn,∴0xn,002xn,04yn,即点4P的坐标(,4)nn.∵点4P在抛物线上，214()()42nnn,4n或0n(舍去).综上知，点Q的横坐标为225，225，4，或4.以上求解的基本思路，实际也适用于求解等腰三角形、直角三角形、梯形和圆的存在性问题，具有普遍的应用价值.