最新北师大版初一(上)数学讲义第四章：基本平面图形.docx

精品文档第四章：基本平面图形◆4.1线段、射线、直线1．线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．线段的特征：①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．射线可以反向延长；射线没有粗细之分．(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．直线的特征：①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．【例1】下列说法正确的有()．①画一条射线等于5cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．(2)射线的表示方法用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点必须在前面)．射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线．【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是()．精品文档精品文档(3)直的表示方法直有两种表示方法：①可以用表示条直上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直上任意两个点的字母没有序性．如甲中的直可作“直AB”或“直BA”；②可用一个小写字母来表示，如乙中的直可作“直l”．甲乙辨区段、射、直的系①表示段、射、直，都要在字母前面注明“段、射或直”；②用两个大写字母表示段和直，两个字母没有序性，可以交位置，如“段BA”和“段AB”表示同一条段，“直AB”和“直BA”表示同一条直；③表示射的两个大写字母有一定的序，表示端点的字母必写在前面．【例2－2】如所示，下列法()．A．都B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确3．直的性(1)两点有且只有一条直．①它包含两含：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条⋯⋯；②它可地成“两点确定一条直”．(2)直的其他性：①一点的直有无数条；②不同的两条直最多有一个交点．【例3】工人傅要将一条板固定在机器上，至少要用__________个螺．4．射、段的数方法射和段可以看做直的一部分，因此在一条直上，取一些点，会出射和段．(1)点数与射的条数射向一方无限延伸，因此射的条数是由端点的个数决定的．在直上，以一个点端点的射有2条，若直上有n个点，共有2n条射．(2)点数与段的条数段有两个端点，直上每两个点之的部分就是一条段．因此，数段，只要判断些点共有多少种合即可．析律数段条数的方法确定段的条数，可以先固定第一个点一个端点，再以其余的点另一个端点成段，然后固定第二个点一个端点，与其余的点(第一个点除外)成段⋯⋯，依此推，直到找出最后的段止．【例4】画出段AB：(1)如(1)，在段AB上画出1个点，中共有几条段？(2)如(2)，在段AB上画出2个点，中共有几条段？(3)如(3)，在段AB上画出3个点，中共有几条段？(4)如(4)，在段AB上画出n个点，猜一猜：中共有几条段？精品文档精品文档5．直性的用生活中的很多要用到直的性，如木工傅在木料之前，先在木板上画出两个点，然后两个点条墨，就是利用了直的“两点确定一条直”的性，沿着条能成直的，而不会歪斜．【例5】建房屋，建筑工人都要在的两端固定子，利用所学的知，明其中道理．6.与直有关的律探究(1)两点确定一条直，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直．当任意三点均不在同一直上，点数与直条数的关系下表：点的个数最多直条数213346⋯⋯n(n1)n(n－1)21(2)平面上若有n(n1)条直两两相交，交点个数最多有2n(n－1)个．【例6】平面上有五个点，其中任意两点画一条直，最多能得到多少条直？画出另外三种不同情况的形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯◆4.2比较线段的长短1．段的性（1）两点之的距离：两点之段的度，叫做两点之的距离。（2）段的性两点之的所有中，段最短。述：两点之，段最短。◇延伸拓展①距离是指两点之段的度，是一个非数，而不是段本身。比如M,N两点之的距离不能成是段MN，而成段MN的度。②接两点的有无数条，段的度最短。是指以两个点端点的任意，包括段，折和曲。接AB是指画段AB。【例1-1】已知段AB5cm，在段AB上截取BC2cm，AC【例1-2】如是A,B两地之的公路，在公路工程改造，使A,B两地行程最短，在中画出改造后的公路，并明你的理由。AB2.段的画法精品文档精品文档（1）尺作法用直尺和作一条段等于已知段a。aABM如，其作法是：①画射AM；②在射AM上用截取段ABa，段AB就是所求作的段。上面作法中的“截取”是指以点A心，以a的度半径画弧，角射AM于点B；尺作要保留作痕迹，最后要指出所求作的形；注意画段，不要向任何一方延伸。（2）度量法用刻度尺画一条段等于已知段a。画法是：先用刻度尺量出已知段a的度，再画一条段，使其度等于段a的度。◇延伸拓展段和差的画法已知两条段a,b(ab)。两条段和的画法是：①先画段ABa；②在段AB的延上截取BCb，段AC就是段a,b的和，即ACab，如1.两条段差的画法：①先画段ABa；②再在段AB上截取ACb，段BC就是段a,b的差，即BCab，如2.aaabbbABCACB图1图2【例2】已知段a,b(2ab)，用直尺和作一条段，使条段等于2ab。ab3.段的中点段的中点：把段分成相等的两条段的点叫做段的中点。AMB如，M段AB的中点，AMBM1AB或AB2AM2BM。2◇延伸拓展似的，有段的三等分点、四等分点等。三等分点，把段分成相等的三条段叫做段的三等分点；四等分点，把段分成相等的四条段叫做段的四等分点；⋯⋯⋯n四等分点，把段分成相等的n四条段叫做段的n四等分点；【例3】若P是段CD的中点，（）A.CPCDB.CPDPC.CDPDD.CPPD4.段短的比借助不同的方法比两条段的短。【例4-1】如，若ABCD，AC与BD的大小关系是（）ABCD【例4-2】已知三角形ABC，比ACBC与AB的大小关系。精品文档精品文档CAB5.段的有关算段的有关算是以后学几何知的前提。【例5-1】如所示，已知AB:BC:CD3:2:4，E,F分是AB,CD的中点，且EF22cm，求AB,BC,CD的。AEBCFD【例5-2】如，已知点C在段AB上，段AC6cm,BC4cm，点M,N分是AC,BC的中点。（1）求段MN的度；ABa，其他条件不，你能猜出MN的度？表述你（2）根据第（1）的算程和果，的律。AMCNB6.段性的用段的性在生活和生中用非常广泛，可以根据“两点之，段最短”确定位置。【例6-1】某地区有A,B,C,D四个村庄如所示，了解决当地的缺水，政府准投修建一个蓄水池，不考其他因素，你帮忙画出蓄水池O的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。ADBC【例6-2】如所示，有一个正方体盒ABCDA'B'C'D'，在点C'有一只小虫，它要爬到A点吃食物，沿着怎的路，才能使行程最短？你能出条路？BACDB'A'C'D'7.易辨析【例7-1】若AC1AB，点C是段AB的中点，种法正确？什么？2【例7-2】已知段的度。AB8cm，点C在直AB上，且BC3cm，点M段AC的中点，求段MC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯◆4.3角1．角的定精品文档精品文档(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有()．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，、如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】下列说法是否正确，为什么？精品文档精品文档①平角是一条直；②表上的分1小形成一个周角．4．度、分、秒的算(1)角的位及意角的位是度、分、秒．意：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，作1″.(2)度、分、秒的率及算方法度、分、秒的率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3600″.6060秒度垐垎分垐垎噲垐噲垐6060(3)度、分、秒有关的算60才向高位1，而借1表示低位的度、分、秒的率是六十制，不同于十制．在运算中60.在行度、分、秒的加减法或乘除法的运算，要按行，即分按度、分、秒算，不减、不除的要借位．从高位借的，位要化低位的位后才能行运算．在相乘或相加，当低位大于或等于60，要向高位位．【例4－1】(1)用度、分、秒表示48.13°__________；(2)用度表示23°9′36″．【例4－2】算：(1)13°29＋′78°37；″(2)61°39－22′°5′；32″(3)23°53′×3；(4)1074°3′÷5.5.角的数方法数角的个数与数段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始数法：先以某条始(固定一)，按方向或逆方向找到