分式知识点及题型

第1页/共2页分式知识点及题型一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B）②分式无意义：分母为0（0B）③分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）④分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。◆约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.第2页/共2页3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：ccbdadbadcba②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba③分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bdbcaddcba整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：nmnmaaamnnmaannnbbaanmnmaaa（0a）nnbabanna1na0a）10a（0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。八、分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。九、列分式方程——基本步骤：①审—仔细审题，找出等量关系。②设—合理设未知数。③列—根据等量关系列出方程（组）。④解—解出方程（组）。注意检验⑤答—答题。第3页/共2页分式典型例题一、分式（一）从分数到分式题型1：考查分式的定义例：下列式子中，yx15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xyx1、21、212x、xy3、yx3、ma1中分式的个数为（）（A）2（B）3（C）4(D)5练习题：（1）下列式子中，是分式的有.⑴275xx；⑵123x；⑶25aa；⑷22xx；⑸22bb；⑹222xyxy.（2）下列式子，哪些是分式？5a；234x；3yy；78x；2xxyxy；145b.题型2：考查分式有，无意义，总有意义（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12x≠0）例1：当x时，分式51x有意义；例2：分式xx212中，当____x时，分式没有意义例3：当x时，分式112x有意义。例4：当x时，分式12xx有意义例5：x，y满足关系时，分式xyxy无意义；例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（）A．122xxB.12xxC.133xxD.25xx例7：使分式2xx有意义的x的取值范围为（）A．2xB．2xC．2xD．2x例8：要是分式)3)(1(2xxx没有意义，则x的值为（）A.2B.-1或-3C.-1D.3题型3：考查分式的值为零的条件第4页/共2页使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：当x时，分式121aa的值为0例2：当x时，分式112xx的值为0例3：如果分式22aa的值为为零,则a的值为()A.2B.2C.2D.以上全不对例4：能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（）A0xB1xC0x或1xD0x或1x例5：要使分式65922xxx的值为0，则x的值为（）A.3或-3B.3C.-3D2例6：若01aa,则a是()A.正数B.负数C.零D.任意有理数题型4：考查分式的值为正、负的条件【例】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.二、分式的基本性质题型1：分式的基本性质的应用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。例1：abyaxy；zyzyzyx2)(3)(6；如果75)13(7)13(5aa成立,则a的取值范围是________；例2：)(1332baab)(cbacb例3：如果把分式baba2中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（）A、扩大10倍B、缩小10倍C、是原来的20倍D、不变例4：如果把分式yxx10中的x，y都扩大10倍，则分式的值（）A．扩大100倍B．扩大10倍C．不变D．缩小到原来的101CBCABACBCABA0C第5页/共2页例5：如果把分式yxxy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（）A、扩大2倍；B、扩大4倍；C、不变；D缩小2倍例6：若把分式xyx23的x、y同时缩小12倍，则分式的值（）A．扩大12倍B．缩小12倍C．不变D．缩小6倍例7：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23B、223yxC、yx232D、2323yx例8：根据分式的基本性质，分式baa可变形为（）AbaaBbaaCbaaDbaa例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，05.0012.02.0xx；例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，211xxx=。题型2：分式的约分及最简分式①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分②分式约分的依据：分式的基本性质．③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例1：下列式子（1）yxyxyx122；（2）cabaacab；（3）1baab；（4）yxyxyxyx中正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：下列约分正确的是（）A、326xxx；B、0yxyx；C、xxyxyx12；D、214222yxxy例3：下列式子正确的是()A022yxyxB.1yayaC.xzyxzxyD.0adcdcadcadc例4：下列运算正确的是（）A、aaababB、2412xxC、22aabbD、1112mmm例5：下列式子正确的是（）A．22ababB．0babaC．1babaD．babababa232.03.01.0第6页/共2页例6：化简2293mmm的结果是（）A、3mmB、3mmC、3mmD、mm3例7：约分：2264xyyx；932xx=；xyxy132；yxyxyx536.03151。例8：约分：22444aaa＝；yxxy2164；)()(babbaa；2)(yxyx22yxayax；1681622xxx；6292xx23314___________21abcabc29__________3mmbaab2205__________96922xxx__________。例9：分式3a2a2，22baba，)ba(12a4，2x1中，最简分式有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型3：分式的通分及最简公分母:通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：222xxx最简公分母就是22xx。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：4222xxx最简公分母就是2242xxx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：2222xxxx最简公分母是：22xx例1：分式nmnmnm2,1,122的最简公分母是（）A．))((22nmnmB．222)(nmC．)()(2nmnmD．22nm例2：对分式2yx，23xy，14xy通分时，最简公分母是（）A．２４x2y３B．１２ｘ２ｙ２Ｃ．２４ｘｙ２Ｄ．１２ｘｙ２第7页/共2页例3：下面各分式：221xxx,22xyxy,11xx,2222xyxy，其中最简分式有（）个。A.4B.3C.2D.1例4：分式412a，42aa的最简公分母是.例5：分式a与1b的最简公分母为________________；例6：分式xyxyx2221,1的最简公分母为。二、分式的运算（一）分式的乘除题型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法：乘法法测：ba·dc=bdac.分式的