1.1-空间向量及其运算(精讲)(解析版)

1.1空间向量及其运算（精讲）思维导图考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,ab共线，则,ab所在的直线平行；②若向量,ab所在的直线是异面直线，则,ab一定不共面；常见考法③若三个向量,abc，两两共面，则,abc，三个向量一定也共面；④已知三个向量,abc，，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量,,abc两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①若a、b共线，则a、b所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a、b所在的直线是异面直线，a、b也可以共面；所以②错；③若a、b、c三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a、b、c三向量不一定共面；所以③错；④若三向量a、b、c共面，若向量p不在该平面内，则向量p不能表示为pxaybzc，所以④错.故选：A.考法二空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AFFD，E为BC中点，则EF等于（）A．1223EFACABADB．112223EFACABADC．112223EFACABADD．112223EFACABAD【答案】B【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AFFD，E为BC中点，所以EFEBBAAF1223ABACABAD112223ACABAD，即112223EFACABAD.故选：B.【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN（）A．221332abcB．111222abcC．211322abcD．121232abc【答案】C【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。所以211322MNabc.故选：C2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是（）A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAABAD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选：D.3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12（BC-BD）等于（）A．ADB．FAC．AFD．EF【答案】C【解析】BC-BD＝DC，11()22BCBDDCDF，∴AD+12（BC-BD）ADDFAF．故选C．考点三空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）A．OMOAOBOCB．111532OMOAOBOCC．0MAMBMCD．0OMOAOBOC【答案】C【解析】对于A选项，由于11111，所以不能得出,,,MABC共面.对于B选项，由于1111532，所以不能得出,,,MABC共面.对于C选项，由于MAMBMC，则,,MAMBMC为共面向量，所以,,,MABC共面.对于D选项，由0OMOAOBOC得OMOAOBOC，而11131，所以不能得出,,,MABC共面.故选：C【一隅三反】1．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OPOAOBtOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．【答案】18【解析】P，A，B，C四点共面，且3148OPOAOBOCt，31148t，解得18t.故答案为:182．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有1133OMxOAOBOC，则x＝________.【答案】13【解析】已知1133OMxOAOBOC且M，A，B，C四点共面，则11133x，解得x=133．（2019·随州市第一中学高二期中）空间ABCD、、、四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且5133PAPBxPCPD，则实数x的值为（）A．13B．13C．23D．23与，，一定共面的充要条件是，【答案】A【解析】因为空间ABCD、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P都有5133PAPBxPCPD，所以51133x，解得13x.故选A4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．,OEkOAOFkOB，,OGkOCOHkOD．求证：四点E，F，G，H共面【答案】证明见解析【解析】∵,OEkOAOFkOB；∴||OEOFkOAOB；EF//AB，且EF＝|k|AB；同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF//HG，且EF＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形；∴四点E，F，G，H共面.考点四空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求AC与AC的夹角的余弦值．【答案】（1）85；（2）8510【解析】（1）可得AC＝'ACCC＝'ABADAA，2AC＝2ABADAA＝22ABADAA+2（ABADABAAADAA）＝42+32+52+2（4×3×0+4×1153522）＝85故AC′的长等于AC＝85（2）由（1）可知AC＝ABADAA，AC＝85故ACAC＝（ABADAA）（ABAD）＝222ABABADADAAABAAAD＝2211424303545322＝852又AC＝ABAD＝222ABABADAD＝22403＝5故AC与AC的夹角的余弦值＝ACACACAC＝8528558510【一隅三反】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量1AB,AD,AA两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|1AA|=3,则|1AC|等于()A．5B．6C．4D．8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，11ACABADCC=1ABADAA所以有1AC=1ABADAA，于是有21AC=21ABADAA21AC=2220001112cos602cos602cos60ABADAAABADABAAADAA=25所以15AC，答案选A2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为矩形，2AB，4AD，16AA，1160AABAAD，则1AC的长为（）A．82B．46C．223D．32【答案】C【解析】由11ACACCC,2222211111()2ACACACCCACACCCCC.求两个向量的夹角有两种方法：方法一：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小(2)先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小由底面ABCD为矩形得；241620AC，2136CC，另；1160AABAAD，1122()ACCCABBCCC,01126cos606,12ABCCBCCC21120363692,223ACAC3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则cos,OABC的值为（）A．12B．22C．12D．0【答案】D【解析】依题意空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，设棱长均为a.而BCOCOB，则22coscos033OAOCOBOAOCOAOBaa所以cos,0OAOCOBOABCOABCOABCOABC.故选：D4．（2020·全国高二课时练习）.1BB⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱A11BAB、▱B11BCC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线1BA与AC所成的角.【答案】60°【解析】如图所示.因为11,BABABBACABBC故1111BAACBABBABBCBAABBABCBBABBBBC因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故2110,0,0,ABBCBBABBBBCBAABa故21BAACa又111,BAACBAACcosBAAC故211,222acosBAACaa.而1,0,BAAC，故可得1,120BAAC，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC成60°角.