直纹曲面和可展曲面

45直纹面和可展曲面一直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。二直纹面的参数表示在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C），其参数表时为()aau，这样的曲线称为直纹面的导线。设()bu是过导线（C）上()au点的直母线上的单位向量，导线（C）上()au点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径OPr可以表示为:()()rauvbu。这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C）平行的曲线。三直纹面的切平面对直纹面()()rauvbu,()()urauvbu,uvrrabvbb,()()(,,)abbbbabb，()ab‖()bb(,,)0abb。（1）若()ab不平行于()bb，即(,,)0abb，则当P点在一条直母线上移动时，参数v随P点的变化而变化，因此直纹面的法向量n()au()bu(,)ruvO(C)46（或切平面）绕直母线而旋转。（2）若()ab平行于()bb，即(,,)0abb，则当P点在一条直母线上移动时，虽然v变化了，但是uvrr只改变长度，不改变方向。也即uvuvrrnrr保持不变。这说明当P点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。四直纹面的高斯曲率对于直纹面()()rauvbu,()vrbu。所以曲面在P点沿方向vr的法截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理cosn,因此在P点沿vr的法曲率0n.据前面的讨论,只当P点是双曲点或抛物点时才可能出现0n的情况。这说明直纹面上的高斯曲率0K。下面将指出，当(,,)0abb时，0K，当(,,)0abb时0K。由直纹面的方程()()rauvbu得uuravb，uvrb，0vvr。2()uvuvrrabvbbnrrEGF，L=……，2(,,),0abbMNEGF，22LNMKEGF222(,,)()abbEGF，所以当(,,)0abb时，0K，当(,,)0abb时0K。因沿直母线总有0n，故直母线是直纹面的渐近线。五腰曲线1腰点的定义：设l为过导线上点()au的直母线，l是过导线上的邻近点()auu的直母线，作l和l的公垂线（如图），垂足分别为Mbbb()auu()auMMll47和M，公垂线MM的垂足M当0u时沿直母线趋于极限位置0M,点0M称为直母线l上的腰点。2腰点的向径表达式垂足M和M对应的向径分别是M：()()rauvbu，M：()()rraavvbb，由此得()MMravbvbb，又因,()MMbMMbb，所以0MMb。将MM带入得：()0abvbbvbbb，两边除以2()u，取极限令0u得：20abvb，所以2abvb，把它带入()()rauvbu得腰点的向径表达式：2()()()()()auburaububu………………（＊）3腰曲线的定义：在直纹面的每一条直母线上（假如0b）有一个腰点，这些腰点的轨迹叫做腰曲线。说明：（1）（＊）为对应参数为u的直母线l上腰点的向径，当u变动时就得到所有直母线上的腰点的向径。因此（＊）表示了所有腰点构成的轨迹曲线。所以（＊）就是腰曲线的参数方程。（2）若取腰曲线为导线()aau，则（＊）中腰曲线的向径()rau，于是可得0ab；反之，若0ab，可知腰曲线()rau为导线。即有结论：腰曲线是导线0ab，即ab。（3）腰曲线的几何意义:它沿直母线的狭窄部位“围绕”着直纹面。484.2可展曲面一可展曲面的定义定义把直纹面()()rauvbu中满足(,,)0abb的曲面叫做可展曲面。推论直纹面可展的充分必要条件是沿直纹面的每一条直母线只有一个切平面。说明（1）有的书上就是以推论的条件定义可展曲面的，而把(,,)0abb作为一个充要条件。（2）确实有沿同一直母线其切平面不是同一个的直纹面，如正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等，他们都不是可展曲面。二可展曲面包含的曲面命题1每一个可展曲面或是柱面或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明设()()rauvbu为可展曲面，则(,,)0abb。我们取腰曲线为导线，此时0ab。（1）0,0,()baau=常向量。表明腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合。所以曲面是以腰点为顶点的锥面。（2）0,0ba时，由条件(,,)0abb，所以,,abb共面，又0ab，而||1b，所以bb。a‖b，这时可展曲面是()()rauvbu=()()auvau，可知这是导线（腰曲线）的切线曲面。如图49（3）0b，则b=常向量。这表示柱面。如上图。说明：命题的逆命题也成立。即：每一个柱面、锥面、任一条曲线的切线曲面一定是可展曲面。证明留做习题。三单参数曲面族的包络定义给出一个单参数曲面族{}S：(,,,)0Fxyz，其中是参数，当的值变化时，我们就得到族中不同的曲面S，并且假定函数(,,,)Fxyz具有一阶与二阶的连续偏导数。如果有一个曲面S，它的每一点是{S}族中一个曲面S的点，而且在S与S的公共点它们有相同的切平面;另一方面，对{S}族中每一个曲面S，在曲面S上有一点P，使S与S在公共点P有相同的切平面，则称S是单参数曲面族{S}的包络。例如,到z轴距离是1的平面sincos10xy，所有这样的平面构成一个单参数的曲面族（实际是平面族），221xy就是这平面族的包络。四单参数曲面族包络的方程结论：设{}S：(,,,)0Fxyz为单参数曲面族，每个S上的点都是正常点。若曲线族(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz构成曲面S，则S为{S}包()au()au()au50络。从曲线族方程消去得S的方程：(,,)0xyz。证明对S上任一点P(x,y,z),则存在某个S，P在(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz上。即P在曲面族{S}中曲面S上，且F=0。反过来，对{S}中每个S，则(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz在S上。因S由所有(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz构成的，所以(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz也在S上。在其上任取一点P,P是S上的点，也是S上的点。设{dx,dy,dz}是S在P点的任一切向量,设P在S上：(,,,)0Fxyz,两边求微分得0xyzFdxFdyFdzFd，因0F，所以0xyzFdxFdyFdz，这说明{,,}xyzFFF是S在P点的法向量（因所有切向量与它垂直）（注：,,xyzFFF不全为零时P为正常点).而{,,}xyzFFF也是(,,,)0Fxyz在P点的法向量。这说明在P点，S与S有相同的切平面。以上两方面证明了S是{S}的包络。因P是(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz上任一点,所以以上说明了S与S沿着这条曲线相切。定义设S是单参数曲面族{S}的包络，则S与族中的曲面相切的曲线称为特征线。可知,固定时，(,,,)0(,,,)0FxyzFxyz是特征线方程.特征线的轨迹就是包络.每个曲面(,,,)0Fxyz沿特征线切于包络。习题P1292,3,451五曲面为可展曲面的条件命题2一个曲面为可展曲面的充分必要条件是此曲面为单参数曲面族的包络。证充分性：设S是下面单参数平面族()()()()0AxByCzD的包络（其中A,B,C,D是与平面族的参数有关的系数），则S是特征线：()()()()0()()()()0AxByCzDAxByCzD的轨迹。而对每个特征线是直线，所以S是直纹面。下面证S是可展曲面：S的直母线是特征线()()()()0()()()()0AxByCzDAxByCzD，对每一,S沿特征线与曲面S：()()()()0AxByCzD相切，即在S的同一条（确定的）直母线上，S有同一个切平面S，故S为可展曲面。必要性：设S为可展曲面，则S是直纹面，且沿S的同一条直母线有同一个切平面。于是沿S的所有直母线的切平面构成一个平面族{}。因沿一条直母线的切平面是由这条直母线确定的，而直母线是单参数的（如()()rauvbu，给定一个u，确定一条直母线，直母线是单参数u确定的),所以这个平面族{}是单参数的。S在每一点处与{}中的一平面相切。故S是单参数平面族{}的包络。命题3一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的高斯曲率等于零。52证：“”因曲面为可展曲面，所以曲面为直纹面，沿同一直母线的单位法向量不变，即0dn。因此沿直母线dn‖dr，特别取dr为直母线的方向，则由罗德里格定理知，沿直母线的方向是主方向。因此主曲率10（或20）,于是高斯曲率K=12=0。“”：若K=12=0,不妨设20,这时2对应的方向是主方向，也是渐近方向。因在整个曲面上K=0,所以曲面上有一族渐近曲线，这族渐近线也是曲率线。整个曲面可视为这族渐近线的集合。由Rodrigues定理，沿渐近线有20dndr，即n=常向量。这说明沿渐近线n保持常向量。由3.4中注(2)中推论，沿渐近线副法向量（平行于n）为常矢。故渐近线为平面曲线，其所在平面为曲线的密切平面。又由命题2，曲面沿渐近曲线的切平面就是（固定的）密切平面。换句话说，对同一条渐近曲线上的点，其切平面是同一个。由此可知，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面。例1证明空间曲线:()rs的密切平面族的包络是曲线的切线曲面证曲线的密切平面族方程是{}:(())()0rss，这里s看作平面族的参数，()s是曲线的副法向量。因此将上式对s求微分得()()(())()0ssrss，其中为曲线的挠率。因此(())()0rss。故向量()rs同时垂直于(),()ss，所以必与()s平行，于是有()()rsvs即()()rsvs，此即曲线的切线曲面。53例2设是由空间曲线()s的副法线形成的曲面。证明是可展曲面()s为平面曲线。证曲面的方程为(,)()()rsvsvs，由伏雷内公式知srv，vr，svr，0vvr。因此的基本量221Ev，0F，221,,01GMNv。所以高斯曲率222222(1)LNMKEGFv，其中为曲线()s的挠率。所以是可展曲面0K=0曲线()s为平面曲线。注：此题也可按可展曲面的定义证。命题4曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线曲面的法线组成一可展曲面。证明：“”设曲线()aas是曲面上的曲率线，则沿此曲线曲面的法线组成的直纹面是()()rastns。下面证它是可展曲面。因()aas为曲面的曲率线，由Rodrigues定理有1dnda，即1()()nsas，其中1()s为对应的主曲率.由此得n‖a，所以(,,)0ann。所以()()rastns为可展曲面。“”：设()aas是曲面上一