球杆平衡系统分析

1本文以球杆系统为研究对象，用拉格朗日方程建立其数学模型，并用线性系统理论中状态响应，能控性和能观测性，稳定性等方面对系统进行了分析，最后利用状态反馈法设计系统的控制器。无论小球在棒的什么位置,杆的角度如何,该控制方法都能使小球稳定在杆的中心位置。利用matlab通过建模仿真该系统能够达到稳定。一、系统建模由刚性球和连杆臂构成的球杆系统。如图1图1球杆系统结构图当小球转动时,球的移动和杆的转动构成复合运动。一般用牛顿力学定律建立系统的运动方程是力的平衡方程,用来分析由多个坐标系描述的运动方程是非常困难的。拉格朗日动力学方程则是能量的平衡方程,它更适合于分析相互约束下的多个连杆的运动。因此，通过拉氏方程建立球杆的运动方程。拉格朗日方程如下：k.,2,1)()(..jtuqRqRqTqTdtdjjjj（1）为简化建模过程，假设系统阻尼为零，因此.jqR项为零，式中T为动能，V为势能，R为能量耗散函数，u(t)为作用于系统向量。以下为变量表示的物理意义：m：球的质量，M：杆的质量，g：重力加速度，，R：球的旋转半径，bJ：2小球的转动惯量，lJ：横杆的转动惯量，l：横杆的长度，：小球绕轴线旋转的角度。该系统可看作是二维空间运动的相互约束的两个质点，选取和r作为广义坐标，设刚球在直角坐标系下的位置坐标为（x,y），则与广义坐标之间的关系为：sincosryrx（2）所以，其速度关系为cossinsincos......rryrrx（3）系统的动能主要包括小球沿横杆运动的动能，小球绕自身轴线转动的动能和横杆绕固定点转动的动能三部分，分别设为321,,TTT。小球在r方向运动的动能1T为)(21)(21.22.2.2.21rrmyxmT（4）小球绕轴线旋转的角度Rr（5）对时间求导的角速度Rr..（6）小球绕自身轴线转动的动能.22.22221rRJJTbb（7）其中252mRJb。横杆绕固定点转动的动能.2232rRJTb（8）其中231MlJl。则系统的总动能.2.22.22.2321212)(21lbJrRJrrmTTTT（9）3考虑系统的势能，由于能量不因坐标的改变而变化，得到小球的势能：cosmgrV（10）通过对外力分析，可知在r方向无外力，在方向的作用力矩为连杆的驱动力矩，代入（1），建立运动方程。r方向上的运动方程为0)(.rVrTrTdtd（11）其中..2.2.)(])[()(rRJmrRJmdtdrTdtdbb，.2mrrT，sinmgrV。得到：0sin)(.2..2mrmgrRJmb（12）方向上的运动方程为VTTdtd)(.（13）其中....2.2.2)(])[()(rmrJmrJmrdtdTdtdll，0T，cosmgrV得到：cos2)(....2mgrrmrJmrl（14）由（12），（14）得：llbJmrJmrmgrrmrgrRJmmr22....22..1cos2)sin(（15）二、系统的线性化对拉格朗日方程建立的系统运动方程来说，通常为非线性的方程，若系统的运动方程可以线性化，那么就可以用线性系统理论来分析平衡点的稳定性，如果在平衡点附近的小偏差范围内，忽略各高次方而得到一个与微小偏差成线性的关系式则称为线性化。如果要研究该系统在平衡点的稳定性，可以采用微小偏移下的线性化方程，但这并不是指在上式的基础上进行线性化，而是应该在动能4T的表达式（9）上进行线性化处理。具体来说，对动能T的表达式进行线性化处理，式中.22mr的系数2mr是与工作点r有关，假设是要分析orr处的稳定性，那么系数就为2omr，故可列写线性化方程时就认为是常数系数与广义坐标的微小偏差无关，这时拉格朗日的方程中的有关导数项就..,r消失了，此时，由式（15）可得llbJmrJmrmgrgRJmmr22..2..1cos)sin(（16）考虑到研究微小偏差下的性能，可以取sin，1cos，得到最终线性化方程为：llbJmrJmrmgrgRJmmr22..2..1)(（17）这一组线性化方程将球系统的特点描绘得非常清楚，（17）式中第一个表示转动角引起的重力加速度分量使球沿杆运动，第二个则说明球处于不同位置产生的力矩与外力矩使杆偏转，杆和球在一起的转动惯量是lJmr2，随球在杆上的位置而变，而球位置的影响是正反馈。比较式（15）和式（17）可以看出，线性化过程实际是将式（15）中的离心加速度.2r和等变量略去不计，其实这些变量在实际系统中的影响确实是很小的。可见线性化处理过程比较直观、简单，处理结果的物理概念也非常清晰。三、状态空间分析3.1状态空间描述根据球杆对象的线性运动方程式（16），选取rx1，.2rx，3x，.4x，则1x代表球在杆上的位置，2x代表球在杆上的线速度，代表杆的倾斜角度，.代表杆的旋转角速度。则状态变量为5..4321rrxxxxx设球杆对象的初始状态为Toorx0,0,0,，由（16）式得ubxxxxaaxxxx443214123.4.3.2.100000010000000010（18）43212101000001xxxxYY（19）其中223RJmmgab，2141omxJmga，2041mxJbl设小球的半径mR02.0，小球的质量为kgm03.0，杆的质量kgM075.0，杆的长度ml2.0，计算得78.17741a，723a，1274b状态方程为CXYBUAXX.其中：00078.177100007000010A，127000B，01000001C。3.2系统性能分析3.2.1能控能观性能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔曼在20世纪60年代引入这两个概念以来，已经证明他们对于系统控制和系统估计问题研究具有基本的重要性。（1）能控性6根据可控性的判别,此可控性矩阵23VBABABAB仿真程序如下：A=[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=0;V=ctrb(A,B);R=rank(V)可得结果为：V=000889008890012700127000R=4可知V为满秩矩阵，则系统状态是完全能控的。（2）能控规范型程序代码如下：A=[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=0;V=ctrb(A,B);symss;dets=det(s*diag(diag(ones(size(A))))-A)M=[1000;0100;0010;0001];N=fliplr(V);M1=N*M;A2=inv(M1)*A*M1B2=inv(M1)*BC2=C*M1运算结果：A2=01.0000e+00000001.0000e+00000001.0000e+0001.2445e+003000B2=0001C2=7889000001270则能控标准型为：XYuXX01270000088910000005.1244100001000010.（3）能观性根据可观性的判别,此可控性矩阵32CACACACG仿真程序如下：A=[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=0;G=obsv(A,C)R=rank(G)仿真结果：G=1.0000e+000000001.0000e+000001.0000e+000000001.0000e+000007.0000e+00001.7778e+0020000007.0000e+00001.7778e+00200R=4可知G为满秩矩阵，则系统状态是完全能观的。意味着系统在任意时刻的状态X，能在任何有限时间间隔内，由输出的观测来决定。（4）能观标准型A=[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=0;8[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=obsvf(A,B,C)仿真结果：Abar=0001.7778e+002007.0000e+00001.0000e+00000001.0000e+00000Bbar=127000Cbar=00010010则能观标准型为：XYuXX0100100000012700100001070078.177000.3.2.2稳定性稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定性问题是系统控制理论研究的一个课，对大多数情况来说，稳定是控制系统能够正常运行的前提，下面对系统的稳定性进行分析。程序代码;[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=[00]';[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)仿真结果p=-5.9394e+000-1.8874e-015+5.9394e+000i-1.8874e-015-5.9394e+000i5.9394e+000由于P的实部有一个是正的，因此该系统是不稳定，需通过控制方法将其达9到稳定状态。四、系统仿真与向量的数目相等,该受控对象可控，可进行状态反馈。我们采用主导极点的方法对系统的性能进行改进，同时，根据极点求解状态反馈矩阵K。令系统性能指标：%5%,1sts则：21%5%41snets解得：0.69015.7963n由21,21nnPj可知1,244.2Pj令另外两个极点为3,4254.2Pj因为256.2554，所以满足主导极点配置的要求。可以将极点配置到[-4+4.2j-4-4.2j-25+4.2j-25-4.2j]。下面给出当小球初始状态为3.0r，横杆角度为6/和小球初始状态为3.0r，横杆角度为6/的仿真图像和程序。（6/约为0.5）平衡系统的仿真程序：A=[0100;0070;0001;177.78000];B=[000127]';C=[1000;0010];D=[00]';P=[-4+4.2j-4-4.2j-25+4.2j-25-4.2j];%配置极点K=acker(A,B,P)Ac=A-B*Kt=[0:0.1:15];u=0;G=ss(Ac,B,C,D);x00=[0.3,0,pi/6,0];%第一个初始状态3.0r，横杆角度为6/x01=[-0.3,0,-pi/6,0];%第二个初始状态3.0r，横杆角度为6/sys=ss(Ac,b,c,d);initial(sys,x00)%第一种状态下的响应holdon;initial(sys,x01)%第二种状态下的响应仿真结果：10图2系统输出响应