2.2.1双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程复习旧知导入新知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程)0(1,122222222babxaybyax和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离之3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系222cba复习旧知导入新知和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的椭圆的定义：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的提出问题：实验探究生成定义[动画演示][1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？（一）用心观察，小组共探（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）实验探究生成定义[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？观察AB两图探究双曲线的定义①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）上面两条合起来叫做双曲线（一）用心观察，小组共探根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（02a2c）oF2F1M||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)双曲线定义的符号表述：讨论：定义当中条件2a|F1F2|=2c如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？定义中需要注意什么?思考：实验探究生成定义群策群力深化概念两条射线F1P、F2Q。F2F1PMQM无轨迹。线段F1F2的垂直平分线。|MF1|=|MF2|F1F2MoF2F1M（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？迪拜双曲线建筑生活中的双曲线双曲线型自然通风冷却塔生活中的双曲线可口可乐的下半部玉枕的形状生活中的双曲线生活中的双曲线巴西利亚大教堂北京摩天大楼法拉利主题公园花瓶生活中的双曲线理解概念探求方程F2F1MxOy以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)求点M轨迹方程。|MF1|-|MF2|=±2a建系标准：简洁、对称（一）齐思共想，推导方程理解概念探求方程yoF1MP={M||MF1|-|MF2|=+2a}_再次平方，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c2a,即ca,故c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入整理得：2ayc)(xyc)(x2222=x2a2-y2b21(a0,b0)（二）自我展示，大家共赏（自由发言，其他小组仔细观察、听取推导过程，如有不同见解及时补充。）理解概念探求方程xyoF1F2M=x2a2-y2b21(a0,b0)方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2（三）提炼精华，总结方程当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？思考：理解概念探求方程F1F2xyF1F2oxy（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上－22ax22by=1－22ay22bx=1F1（-c,0）、F2（c,0）F1（0,-c）、F2（0,c）c2=a2＋b2(a0,b0)（三）提炼精华，总结方程o双曲线定义及标准方程222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1M判断：与的焦点位置？221169xy221916yx思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？结论：看前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上。22,yx判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。cba,,)0,0(1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：)0,6).(0,6(6,2,21cba)0,2).(0,2(2,2,22cba)6,0).(6,0(6,2,23cba)0,).(0,(,,4nmnmnmcnbma题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。解:因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为.191622yx题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。两条射线轨迹不存在例1、已知双曲线的焦点F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。1.若|PF1|-|PF2|=8呢？2.若||PF1|-|PF2||=10呢？3.若||PF1|-|PF2||=12呢？)4.(191622xyx所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，|F1F2|=10.||PF1|-|PF2||=8，拓展：双曲线上一点Ｐ，|PF1|=10,|PF2|=_______4或16例题讲解变式训练:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?归纳比较强化新知定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab例2已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上的两点P1、P2的坐标分别（），（），求双曲线的标准方程。设法一：设法二：设法三：3,22,315变式：已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为（），（），求双曲线的标准方程。3,22,315.1322yx随堂练习变式:上述方程表示双曲线，则m的取值范围是__________________m＜－2或m＞－11.求适合下列条件的双曲线的标准方程①a=4,b=3，焦点在x轴上；②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)11222mymx2.已知方程表示焦点在y轴的双曲线，则实数m的取值范围是______________m＜－2191622yx1162022xy使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xoy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则3402680PAPB即2a=680，a=3408006800,0PAPBx1(0)11560044400xyx222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222800||AB知识迁移深化认知变式训练：已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且3sinsinsin,5BCA求顶点A的轨迹方程。3sinsinsin,5BCA解：在△ABC中，|BC|=10，331061055ACABBC故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=41(3)916xyx22则顶点A的轨迹方程为课堂练习2.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是.191622yx7或231.判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距．(2)a=4,b=3,c=5,焦点在y轴，焦点(0，-5)、(0，5)，焦距为10．22(1)13664xy(1)a=6,b=8,c=10,焦点在x轴，焦点(-10，0)、(10，0)，焦距为20；22(2)1169yx3.求证：双曲线与椭圆的焦点相同．221515xy证明：双曲线化为标准方程因为所以22115xy焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)15,1ab221259xy1514c因为椭圆中5,3ab所以2594c焦点在x轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)所以双曲线与椭圆的焦点相同．小结----双曲线定义及标准方程222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1M:双曲线:2标准方程)0,0(1122222222babxaybyax(3)应用(1)定义:||MF1|-|MF2||=2a（02a|F1F2|）由方程定焦点：椭圆看大小双曲线看符号知识迁移深化认知1.完成：课时作业(十二)要想获得真理和知识，惟有两件武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎.——笛卡尔课外作业2.预习：2.2.2双曲线的简单几何性质