2020年稽阳联考数学试题

数学试题卷第1页（共4页）2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷命题人：审稿人：本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：如果事件A,B互斥,那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,B相互独立,那么其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高P(A·B)=P(A)·P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么nV=13Sh次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高Pn(k)=Cknpk(1－p)n-k(k=0,1,2,…,n)棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31SSSShV24RS其中S1,S2分别表示棱台的上下底面球的体积公式：334RV球（其中R表示球的半径）面积，h表示棱台的高第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|14},{|60}MxxNxxx，则MN（）A.{|14}xxB.{|13}xxC.{|23}xxD.{|24}xx2.已知复数1izi，其中i为虚数单位，则||z=（）A.12B.22C.2D.23.若变量yx,满足2020240xyyxy，则26yx的最小值是（）A.2B.45C.4D.12数学试题卷第2页（共4页）4.已知函数sin()2cosxxfxx的图象可能为（）ABCD5.已知0,0ab，则“log2log20ba”是“|1||1|ab”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6.已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（）A.73，53B.73，5C.33，53D.31，57.如图，已知点00(,)Pxy是双曲线221:143xyC上的点，过点P作椭圆222:143xyC的两条切线，切点为,AB，直线AB交1C的两渐近线于点,EF，O是坐标原点，则OEOF的值为（）A.34B.1C.43D.9168.四面体ABCD中，,,2ABBCCDBCBC，且异面直线AB与CD所成的角为60.若四面体ABCD的外接球半径为5，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A.23B.43C.33D.369.已知数列{}na是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n项和为nS.若,pmnq且*,,,,pqmnpqmnN，则下列判断正确的是（）A.22ppSpaB.pqmnaaaaC.1111pqmnaaaaD.1111pqmnSSSSO第7题图yxFEBAP第6题图俯视图侧视图正视图11112OxyOxyOxy数学试题卷第3页（共4页）10.已知e为自然对数的底数，,ab为实数，且不等式ln(21)10xeaxb对任意的(0,)x恒成立.则当21ba取最大值时，a的值为（）A.2eB.21eC.3eD.31e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。11.已知1tan42，且322，则tan▲，sin2▲.12.若52345012345(2)(21)(21)(21)(21)(21)xaaxaxaxaxax=+-+-+-+-+-，则012345aaaaaa▲，2a▲.13.已知动直线:2lykx与圆22:(1)6Cxy交于,AB两点.当1k时，||AB▲.当l运动时，线段AB的中点M的轨迹方程为▲.14.在ABC△中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2sinbcA2223()0abc，则C=▲；若点D是边AB上靠近A的三等分点，且1CD，则ABC△面积的最大值为▲.15.已知正实数,ab满足121ab，则(1)(2)ab的最小值为▲.16.袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球、2个黑球、1个红球.现从中依次取球,每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用X表示终止取球时已取球的次数，则随机变量X的数学期望()EX▲.17.已知平面向量,,,abcd满足：||||2,8ababac.若对满足条件的任意c，||dc的最小值恰为||da.设dxayb，则2xy的最大值为_____▲_______.三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18.（本题满分14分）已知函数2()2sin()3cos21,[,]442fxxxx（Ｉ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式|()|2fxm在,42x上恒成立，求实数m的取值范围.数学试题卷第4页（共4页）19.（本题满分15分）如图，三棱台111ABCABC中，,30ABBCACB，侧面11ACCA为等腰梯形，11112224ACAAACCC，13AB.（Ｉ）求证：1ACAB.（Ⅱ）求直线1BC与平面11ACCA所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知等差数列{}na满足：25a，3a是14a和54a的等比中项.数列{}nb满足：11122(21)22nnnabababn·11122(21)22nnnabababn.（Ｉ）求数列{}na和{}nb的通项公式.（Ⅱ）若1nnnacb，求证：1252ncccn.21.（本题满分15分）已知椭圆221:12xCy和抛物线22:2(0)Cypxp，点F为1C的左焦点，点E为2C的焦点.（Ｉ）过点F的直线与2C相切于点P，若||5PF，求抛物线2C的方程.（Ⅱ）过点E的直线l交2C于,PQ两点，点M满足4OQOM（O为坐标原点），且点M在线段1x22()22y上.记PQM的面积为1S,EFP的面积为2S，求12SS的取值范围.22.（本题满分15分）已知函数22()2()xfxeaxxaR.（Ｉ）若()fx在[0,)上为单调递增函数，求实数a的最小值.（Ⅱ）若2()()(22)gxfxex有两个极值点1212,()xxxx.求实数a的取值范围；（ii）求证：2122||1ln||2eaxxa.2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第19题图BACA1B1C1第21题图QFPyxOME数学试题卷第5页（共4页）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D10.D各题详细参考解答1.解：由于{|14},{|23}MxxNxx，从而{|13}MNxx，选B.2.解：由于(1i)11222iiizi，则2||2z.选B.3.解：如图，不等式组2020240xyyxy表示的平面区域为如图所示的阴影部分，从而当4,2xy时，26yx有最小值2，选A.4.解：由于sin()2cosxxfxx为偶函数，且()fx在0x右侧取值正，故选A.5.解：充分性：log2log201110|1||1|baababab，充分性成立.必要性：取12,2ab，则1|1||b1|12a成立,而条件不成立，故log2log20ba是|1||1|ab的充分不必要条件，故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，121111322224732222S.11152=11221323VVV柱锥，故选A.7.解：椭圆2C关于点00(,)Pxy的切点弦AB的方程为003412xxyy.联立00341232xxyyyx得点0000436,3232Exyxy，同理0000436(,)3232Fxyxy，则2222220000004836121343232OEOFxyxyxy，故选B.NMD1C1B1A1DCBA数学试题卷第6页（共4页）8.解：构建直三棱柱ABECDF，设,GH分别为,ABECDF的外心，连接GH，取其中点O，则O为直三棱柱ABECDF的外接球的球心，也为四面体ABCD的外接球的球心，因为异面直线AB与CD所成的角为60，所以60ABE.设三棱柱底面三角形ABE的外接圆半径为r，则512r，2sin6023AEr，再由余弦定理，222222cos6012AEABBEABBEABBEABBE，所以22122ABBEABBEABBEABBEABBE所以1113sin60233326ABCDABECDFVVABBEBCABBE，故四面体ABCD的体积的最大值为23.故选A.9.解：由于12212()()22ppppppaaSpaapa，故选项A错误.由于mpqn，则[()][()]pqmnmnmnaaaaapmdaqndaa222[()][()]()()()()()mnmnmnaqndaqndaaqndaaqndqndnm22()0qnd，故选项B错误.由于1111pqmnmnpqpqpqmnmnaaaaaaaaaaaaaaaa，故选项C错误.设0xqnmp，则2()()()0pqmnnxmxmnxnmx，从而pqmn，由于222222pqmnpqpqmnmn，故2222pqmn.故222211()()22pqmnpqmnmnmnSSpqadmnadSS.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224pqppqqpqpqpqpqSSpadqadpqaadd22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mnmnmnpqmnmnmnmnmnaaddmnaaddmnSS.由此1111pqmnmnpqpqpqmnmnSSSSSSSSSSSSSSSS，故选项D正确.故选D.注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.OHGFEDACB数学试题卷第7页（共4页）10.解：由于ln(21)10ln21(1)(2)xeaxbxexaxb.此不等式对任意(0,)x恒成立，则需要保证10a.令1xe，则11ln21(1)2abee从而1(1)2abe，从而211bae.另一方面，当31,1aeb时，ln(21)10xeaxb即为ln20xex，设()ln2(0)fxxexx，则11'()0exfxexx得10xe，故()fx在1(0,]e上单调递增，在1(,)e上单调递减，从而1()()0fxfe，即31,1aeb可使不等式恒成立，从而21ba可取1e.综合上述，当21b