高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解-《函数》全章复习与巩固--基础-

1高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素()fx（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．24．函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()fx得函数表达式，求定义域；（2）已知()fx的定义域，求()fx的定义域，其实质是由()x的取值范围，求出x的取值范围；（3）已知()fx的定义域，求()fx的定义域，其实质是由x的取值范围，求()x的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x在对应法则f下取值的集合叫做函数的值域．函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如yaxbcxd的函数，可用换元法．即设tcxd，转化成二次函数再求值域（注意0t）；（3）形如(0)axbyccxd的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|ayyc；（4）形如22axbxcymxnxp（,am中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数()fgx的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()fx．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数．（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数．（3）若函数()fx在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）3区间．若函数()fx在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()yfx的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)ff，即(0)(0)ff，所以(0)0f．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．要点五：一次函数和二次函数1．一次函数(0)ykxbk，其中ykx．2．二次函数二次函数2(0)yaxbxca，通过配方可以得到2(),yaxhka决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为,hk，对称轴方程为xh．对于二次函数2224()()24bacbfxaxbxcaxaa．当0a时，()fx的图象开口向上；顶点坐标为24,24bacbaa；对称轴为2bxa；()fx在,2ba上是单调递减的，在,2ba上是单调递增的；当2bxa时，函数取得最小值244acba．当0a时，()fx的图象开口向下；顶点坐标为24,24bacbaa；对称轴为2bxa；()fx在4,2ba上是单调递增的，在,2ba上是单调递减的；当2bxa时，函数取得最大值244acba．要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()yfxxD，我们把使()0fx得实数x叫做函数()()yfxxD的零点．（2）确定函数()yfx的零点，就是求方程()0fx的实数根．（3）一般地，如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0fafb，那么函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在0,xab，使得0()0fx，这个0x也就是方程()0fx的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0fx来说，我们可以将它与函数()yfx联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0fx与函数()yfx联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于50．（5）在实数范围内，二次函数2(0)yaxbxca的零点与二次方程20(0)axbxca的根之间有密切关系．①0，方程20(0)axbxca有两个实根，其对应二次函数有两个零点；②0，方程20(0)axbxca有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；③0，方程20(0)axbxca无根，其对应二次函数无零点．【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}ABxyxyRR，f是A到B的映射，并满足:(,)(,)fxyxyxy．（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．【解析】（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，于是34xyxy，解得13xy或31xy，∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），应满足xyaxyb①②由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0．③当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】已知a，b为两个不相等的实数，集合2{4,1}Maa，2{41,2}Nbb，:fxx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由已知可得M=N，故222242420411420aaaabbbb，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．6类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492例2】例2．设定义在R上的函数y=f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于120xx，且120xx，则有()A．12(||)(||)fxfxB．21()()fxfxC．12()()fxfxD．12()()fxfx【答案】D【解析】因为120xx，且120xx，所以21||||xx，画出y=f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A．1yxB．2yxC．1yxD．||yxx【答案】D【解析】奇函数有1yx和||yxx,又是增函数的只有选项D正确．【变式2】定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有2121()()0fxfxxx，则（）A．(3)(2)(1)fffB．(1)(2)(3)fffC．(2)(1)(3)fffD．(3)(1)(2)fff【答案】A【解析】由题知，()fx为偶函数，故(2)(2)ff，又知x∈[0，+∞）时，()fx为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)fff，即(3)(2)(1)fff．故选A．例3．设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx，则{|(2)0}xfx（）A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}【答案】B【解析】当x＜0时，－x＞0，7∴33()()88fxxx，又()fx是偶函数，∴3()()8fxfxx，∴338,0()8,0xxfxxx，∴33(2)8,0(2)(2)8,0xxfxxx，30(2)80xx或30(2)80xx．解得x＞4或x＜0，故选B．例4．设函数2()(0)fxaxbxca的定义域为D，若所有点(,())sft(,)stD构成一个正方形区域，则a的值为（）A．－2B．－4C．－8D．不能确定【答案】B【解析】依题意，设关于x的不等式ax2+bx+