电势满足泊松方程

第二章静电场本章重点：本章难点：静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）本章主要内容§2.1静电场的标势及其微分方程§2.2唯一性定理§2.3拉普拉斯方程分离变量法§2.4镜象法静电场的基本特点：由相对观察者静止的电荷产生的场，不随时间变化这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础0ED左边两式为静电场的基本方程(与磁场无关)§2.1静电场的标势及其微分方程1．静电（势）能一、静电场的标势无旋性有源性由于无旋性，满足0dLlE因而静电场是保守力场，可引入势能EJHBED,ρ是自由电荷线性均匀介质导电物质中的欧姆定律电磁性质方程凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场。设静电场中P1、P2点电势能分别为：1PW2PW保守力做功等于势能增量的负值2121120)(dPPPPPP势能具有相对性，令02PW约定：一般选取无穷远处电势能为零0W21021dPPPPlEqWW零势点101dPPlEqW101dPPlEqW静电场与场中电荷qo共同拥有。取决于电场分布。和场中检验电荷q0无关。可用以描述静电场自身的特性，称为电势。因此电场中某点P的电势表示为左式1PW01qWP2.电势PPPlEqWd0标量,单位：伏特（V）φ具有相对意义，其值与零势点选取有关，但两点间的电势差与零势点选取无关。101dPPlEqWlEddbaablEd若电场对电荷作了正功，则电势下降相距为的两点间的电势差为ld2.电势点电荷Q激发的电场强度为rrQE304因此电场中某点P的电势为：PrrrQrrrQlEPPP0304d4d)(（积分路径可以是任意的，这里我们选择沿径向积分最方便）在多个点电荷电场中的电势为iPiirQP04)(电势叠加原理点电荷场中的电势：PrQP04)(在多个点电荷电场中的电势满足电势叠加原理iPiirQP04)(dQPrEdVx'x若电荷连续分布于有限区域V内，电荷密度为ρVVrxx'd4)'()(0平衡。此时，感应电荷有确定的分布密度，而空间中的电场也同时确定。因此，电荷和电场相互制约。求解此种电场和电荷在数学上属于边值问题，即求微分方程的满足给定边界条件的解。通常，给定的电荷激发电场，电场又引起导体上电荷的重新分布（感应电荷），最后在总电场下达lEdd由于相距为的两点的电势差为ldlzzyyxxddddd因此EE电场强度等于电势的负梯度。二、静电势的微分方程和边值关系由E、D和ED可得在均匀介质中2ED2ρ为自由电荷密度1.泊松方程—静电势的微分方程122P12neS0122给出边界条件就可以确定电势的解2.电势的边值关系在两介质分界面两侧相邻的两点P1和P2，其电势差为212112dPPlE在界面上，电势是连续的1P由于场强有限，而P1P2→0，因此电场法向的边值关系nnnnEEDD112212沿法向nEn因而nn1122nn112221有导体时，出现静电平衡现象，满足：1.导体内部不带净电荷，电荷只能分布于导体表面上；2.导体内部电场为零；3.导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。设导体表面的自由电荷面密度σ，它外面介质的电容率为ε，可得导体表面的电势的边界条件nn112221导体表面的电势的边界条件n常数下一节将证明：如果给定区域V内的自由电荷分布，以及区域边界S上的电势或者区域边界的导体所带的总电荷，即能唯一的确定电场。2.电势的边值关系)(xQ或者三．静电场的能量DEw21能量密度总能量VDEWd21仅讨论均匀介质在静电情形下，ED可得)()(DDDDDE总能量VDEWd21)()(DDDDDE因此VVVDVWd)(21d21右边第二项VSSDVDdd)(面积分遍及无穷界面，由于~，~，而面积~，所以，面积分当r→∞时趋于零。r1D21r21r2.若已知总能量为VdVW21,总能量dVDEW212.若已知总能量为VdVW21,21左边公式积分只需遍及电荷分布区域V，而且只有作为静电场总能量才有意义，不能看作能量密度在非恒定情况下，电场和磁场相互激发，其形式就是独立于电荷分布之外的电磁波运动，因而场的总能量不能完全通过电荷或者电流表示出来。例、0E求均匀电场的电势解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势0yzxθPR0E)cos()(000000REZEREPRElElEPRP000000dd)(注意：零电势的选取问题2.电偶极子产生的电势)11(4)(0rrQPP点电势：（无穷远为零点）l2解：电偶极子：两个相距为的同量异号点电荷构成的系统，偶极矩zeQlP2rrzxyl2R-QQ)(RlPcos2222RllRr求近似值：(Rl)cos2222RllRrcos)cos2211(/cos21lRRlRRlRrcoslRr同理2222cos2coscos211RllRlrrrrrr30302044cos24cos2)(RRpRQlRRQlP求近似值：(Rl))11(4)(0rrQP若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：34RRP例．带电Q的导体球（半径为a）的静电场总能量。解：（方法一）导体球的电荷分布于球面上，整个导体为等势体，球面上的电势为Q/4πε0a，因此，静电场总能量为aQPaQQVWaV02821d21解：（方法二）球内电场为零，因此只需对球外积分，静电场总能量为aQΩrrrQVDEWaV02222008dd)4(2d21一、引言静电学的基本问题是：求出在所有边界上满足边值关系或者给定边界条件的泊松方程的解。§2.2唯一性定理我们希望知道，需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一的确定呢？—唯一性定理唯一性定理的意义：1.在解决实际问题时有所依据；2.对许多实际问题往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解，如果尝试解满足唯一性定理要求的全部条件，即是唯一正确的解。二、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，一般情况下V内可以有多种介质或导体，每一种介质自身是均匀、线性、各向同性的。假设V内的自由电荷分布给定，每一均匀区域的电容率为εi，则有泊松方程)(x)(xεiiix)(2在两区域Vi和Vj分界面上满足边值关系jijjiinn边值关系jijjiinn二、泊松方程和边界条件)(xεiiix)(2边值关系jijjiinn泊松方程和边值关系是电势必须满足的方程，是电场的基本规律。还必须给出V的边界S上的什么条件，V内的电势才能唯一的确定呢？唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，并且在V的边界S上给定（1）电势或者（2）电势的法线方向偏导数则V内的电场唯一的确定)(xSSn二、泊松方程和边界条件iix)(2边值关系jijjiinn唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，并且在V的边界S上给定（1）电势或者（2）电势的法线方向偏导数则V内的电场唯一的确定)(xSSn唯一性定理的解释：在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的φ或者∂φ/∂n。泊松方程iix)(2边值关系jijjiinn唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定)(xSSn证明:设有两组不同的φ1和φ2满足唯一性定理的条件，则112)(x222)(x令21022122（每个均匀区域Vi内）在两均匀区域界面上jijjiinn021SSSSnSn102Sn在整个区域V的边界上或者泊松方程iix)(2边值关系jijjiinn唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定)(xSSn考虑第i个均匀区域Vi的界面Si上的积分iiViSiVΦΦSΦΦd)(diiiViViViVΦVΦΦVΦd)(dd)(2220对所有分区域Vi，求和iViiSiiiVΦSΦΦd)(d2在两均匀区域Vi和Vj的界面上，jijjiinn泊松方程iix)(2边值关系jijjiinn唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定)(xSSn在两均匀区域Vi和Vj的界面上，jijjiinniViiSiiiVΦSΦΦd)(d2但是，jiSSdd因此，上式左边内部分界面的积分互相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分，但在S上，0SSn0或者两种情形面积分都等于零。泊松方程iix)(2边值关系jijjiinn唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布，且在V的边界S上给定（1）或（2）V内的电场唯一的确定)(xSSniViiSiiiVΦSΦΦd)(d2两种情形面积分都等于零。因此0dd)(2iSiiViiiSΦΦVΦ上式左边的被积函数0)(2Φi因而在V内各点上都有0Φ即在V内，Φ=常数，φ1和φ2至多只能相差一个常数，但电势的附加常量对电场没有影响。唯一性定理得证。三、有导体存在时的唯一性定理(均匀单一介质中有导体)总电荷Q为已知，则区域V内电场唯一确定。SSn已知，及导体上的或当0E,V内的电荷分布ρ已知导体中SnQsd'QSS′V四、应用举例1.半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。Q0S不满足已知点电荷产生的电势为rQ014aQS014但它在边界上0S解：点电荷Q放在球心处，壳接地02因而腔内场唯一确定。0R