信号的统计检测理论

概述信号的统计检测理论主要研究在受噪声干扰的随机信号中，信号的有无或信号属于哪个状态的最佳判决的概念、方法和性能。数学基础：统计判决理论，又称假设检验理论。信号检测模型信源信源的输出称为假设将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间中接收端所有可能观测量的集合将观察空间进行合理划分,使每个观测量对应一个假设判断的方法判决规则观察空间概率转移机构统计检测理论的基本模型0R0R1R0H成立1H成立二、信号检测判决域0RMR1R0H成立1H成立MH成立M元信号检测判决域二元信号检测判决域判决假设0H1H00HH10HH01HH11HH0H1H二元信号判决结果判决假设0H1H00HHP10HHP01HHP11HHP0H1H二元信号判决概率3.2.2统计检测的结果和判决概率3.2.2统计检测的结果和判决概率四种判决概率的计算：若信源两个假设等概发送，最佳判决门限为A/2，即若接收信号大于A/2，判决信源发送A；若接收信号小于A/2，则判决信源发送0。dxHxpdxHxpHHPRA002000dxHxpdxHxpHHPRA102001dxHxpdxHxpHHPRA112111dxHxpdxHxpHHPRA012110,2:1AR2,:0ARdxHxpHHPiRjji10100HHPHHP11110HHPHHP平均代价的概念和贝叶斯准则101010PPPPPe信号的平均解调错误概率：可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送0和1的先验概率有关贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小由011000000HHPcHHPcHC111110011HHPcHHPcHC贝叶斯检测小结1100HCHPHCHPC111110011011000000HHPcHHPcHPHHPcHHPcHPCiRjjidxHxpHHP011RjRjdxHxpdxHxp1RjdxHxpdxHxpccHPHxpccHPHPcHPcCR0000100111011111010把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。贝叶斯检测小结dxHxpccHPHxpccHPHPcHPcCR0000100111011111010把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。000100111011HxpccHPHxpccHP判决H0假设成立000100111011HxpccHPHxpccHP判决H1假设成立11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯判决准则贝叶斯检测的进一步说明11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯判决准则01HxpHxpxldef定义为似然比函数1101100100ccHPccHPdef定义为判决门限10HHxl是一维随机变量，称为检验统计量xl不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率和不同代价因子的最佳信号检测。最小平均错误概率准则(Minimummeanprob.oferrorcriterion)01100cc111110011011000000HHPcHHPcHPHHPcHHPcHPC应用范围11001cc101010HHPHPHHPHPC平均错误概率此时,平均代价最小即转化为平均错误概率最小3.4.1最小平均错误概率准则dxHxpccHPHxpccHPHPcHPcCR000010011101111101001100cc11001ccdxHxpHPHxpHPHPCR000110把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，即可保证平均代价最小。0011HxpHPHxpHP判决H0假设成立0011HxpHPHxpHP判决H1假设成立3.4.1最小平均错误概率准则100110HPHPHxpHxpHH最小平均错误概率判决准则01100cc11001cc若，且两个假设的先验概率等概率最小平均错误概率准则转化为0110HxpHxpHH最大似然检测准则3.4.2最大后验概率准则(Maximumaposterioriprob.criterion)11010010cccc应用范围11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯判决准则100110HPHPHxpHxpHH形式上于最小平均错误概率准则相同100110HPHPHxpHxpHH001110HxpHPHPHxpHHdxxXxPHPHdxxXxPdxxXxHP111dxHxpHdxxXxP11dxxpdxxXxP因此，当dx很小时，有xHPdxxXxHP11xpHPHxpdxxpdxHPHxpxHP11111100110HPHPHxpHxpHH001110HxpHPHPHxpHHxpHPHxpdxxpdxHPHxpxHP11111111HPxpxHPHxp000HPxpxHPHxp00011110HxpHPxpxHPHPHPxpxHPHHxHPxHPHH0110最大后验概率检测准则：贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH100110HPHPHxpHxpHH最小平均错误概率判决准则xHPxHPHH0110最大后验概率检测准则01100cc11001cc11010010cccc等概0110HxpHxpHH最大似然判决准则贝叶斯及派生检测准则符合最小平均错误概率准则的一定符合最大后验概率检测准则，反之不成立。贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使平均代价最小的检测准则。11011001000110ccHPccHPHxpHxpHH贝叶斯及派生检测准则信源先验概率未知信源先验概率及代价因子均未知极小化极大准则奈曼皮尔逊准则极小化极大准则(Minimaxcriterion)应用范围假设的先验概率未知，判决代价因子给定目的尽可能避免产生过分大的代价，使极大可能代价最小化。极小化极大准则0100011RRdefFdxHxpdxHxpHHPP一、几种表示符号定义0110RdefMdxHxpHHPP001111PHPHPPdefdef虚警概率漏警概率极小化极大准则111110011011000000HHPcHHPcHPHHPcHHPcHPC二、先验概率未知的情况下，平均代价的性质先验概率未知时，由于贝叶斯判决门限是先验概率P1的函数，因此漏警概率和虚警概率也是先验概率P1的函数先验概率和代价因子已知时，平均代价为代价因子已知，先验概率未知时，平均代价是先验概率P1的函数11111001101100000111HHPcHHPcPHHPcHHPcPPC1001RdefFdxHxpHHPP0110RdefMdxHxpHHPP极小化极大准则二、先验概率未知的情况下，平均代价的性质10010111010011110010001PPccPPccccPPPcccPCFMF平均代价C(P1)是先验概率P1的严格上凸函数极小化极大准则三、先验概率未知的情况下，可以采用的检测方法可猜测一个先验概率P1g，然后利用贝叶斯准则进行检测。gMdefRMPPdxHxpP110判决门限是P1g的函数判决区域R0是P1g的函数判决区域R1是P1g的函数gFdefRFPPdxHxpP10110010111010011110010001PPccPPccccPPPcccPCFMFgMdefRMPPdxHxpP110gFdefRFPPdxHxpP101gFgMgFgPPccPPccccPPPcccPPC100101110100111100100011,给定条件下，平均代价是先验概率P1的线性函数gP1gPPC11,若，平均代价大于最小平均代价11PPggPPC11,为避免产生过分大的代价，需要猜测一种先验概率,使得平均代价不依赖于信源的先验概率P1*1gP*11,gPPC极小化极大准则gFgMgFgPPccPPccccPPPcccPPC100101110100111100100011,为避免产生过分大的代价，需要猜测一种先验概率,使得平均代价不依赖于信源的先验概率P1，因此有：*1gP*11,gPPC极小化极大准则0*10010*111010011gFgMPPccPPcccc*1001000*1gFgPPcccPC极小化极大准则0*10010*111010011gFgMPPccPPcccc*1001000*1gFgPPcccPC00011cc*110*101gFgMPPcPPc*1*1gFgMPPPP00011cc10110cc奈曼-皮尔逊准则(Neyman-Pearsoncriterion)假设的先验概率未知，判决代价未知(雷达信号检测)奈曼-皮尔逊检测01HHP尽可能小，11HHP尽可能大。目标实际情况01HHP减小时，11HHP也相应减小；01HHP也随之增加。11HHP增加在约束条件下,使正确判决概率最大的准则。01HHP11HHP奈曼-皮尔逊准则奈曼-皮尔逊准则的推导在约束条件下,使正确判决概率最大的准则。01HHP11HHP在约束条件下,使判决概率最小的准则。01HHP10HHP等价于利用拉格朗日乘子，构建目标函数00110HHPHHPJ若,J达到最小时，也达到最小。01HHP10HHP奈曼-皮尔逊准则二、奈