信号与系统—系统的频域分析及其应用

系统的频域分析及其应用•连续时间系统的频率响应•连续信号通过系统响应的频域分析•无失真系统与理想低通•抽样与抽样定理•调制与解调•离散时间系统的频域分析连续系统的频率响应•虚指数信号ejwt(-t)通过系统的响应•任意非周期信号通过系统的响应•系统频响H(jw)的定义与物理意义•H(jw)与h(t)的关系•计算H(jw)的方法1．虚指数信号ejwt(-t)通过连续系统的零状态响应)()(thetytjfwwdhetj)()(--wwdheejtj)(--wwdhejHj)()(--)(wwjHetj其中2．任意非周期信号通过连续系统的零状态响应若信号f(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即wwwdejFtftj)(21)(-由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yf(t)。wdejHjFtj)()(21-})(21{wwwdejFTtj-tjtjejHjFejFTw)()(21})(21{由积分特性wdejHjFtfTtytjf)()(21)}({)(-即由均匀性tjtjejHeT)(}{Yf(jw)3．连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义)(j|)(|)(wwwejHjH系统的幅频特性系统的相频特性H(jw)的物理意义：系统把频谱为F(jw)的输入改变成频谱为H(jw)F(jw)的响应，改变的规律完全由H(jw)决定。H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。H(jw)称为系统的频率响应，定义为wwdhejHj)()(--)()()(或Yf(jw)=H(jw)F(jw)4．H(jw)与h(t)的关系)]([)(thFjHw即H(jw)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换•由H(jw)的定义，显然有5．计算H(jw)的方法•由系统的动态方程式直接计算；•由系统的冲激响应的傅立叶变换计算；•由电路的零状态频域电路模型计算。[例1]已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为)()(2)(3)()(2由定义可求得)()()(2)(3)(12wwjj[例2]已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用H(jw)与h(t)的关系)]([)(thFjHw2111-wwjj2)(3)(12wwjj[例3]图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和单位冲激响应h(t)。+--Ry(t)+f(t)C+--RY(jw)+F(jw)1/jwC解：RC电路的频域(相量)模型如右图，)()()(CjRCjww11RCjRC/1/1w由Fourier反变换，得系统的单位冲激响应h(t)为)(1)()/1(tueRCthtRC-由电路基本原理有RC电路系统的幅度响应1/RC0wjw2/RC3/RC4/RC0随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。低通滤波器连续LTI系统响应的频域分析•连续非周期信号通过系统响应的频域分析•连续周期信号通过系统响应的频域分析•正弦信号通过系统的响应•任意周期信号通过系统的响应一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析1.已知描述系统的微分方程)()()()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn--)()()()(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbmmmm--方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有)(])()()([0111--)(])()()([0111--解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf(jw)。)()()()()()()()(01110111----2.已知系统的频率响应)()()()]([)(1wjYFtyff-对Yf(jw)进行Fourier反变换，可得系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：(1)两种分析方法实质相同，只不过是采用单元信号不同。(2)分析域不同，卷积积分法——时域，频域分析法——频域。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析[例1]已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y'(t)+2y(t)=3f'(t)+4f(t)，系统的输入激励f(t)=e-3tu(t)，求系统的零状态响应yf(t)。[解]由于输入激励f(t)的频谱函数为31)(wwjjF系统的频率响应由微分方程可得)2)(1(4)(32)(3)(4)(3)(2(t)的频谱函数Yf(jw)为)3)(2)(1(4)(3)()()()(]25221[)]([)(321tueeejYFtytttff-----w二、周期信号通过系统响应的频域分析1.正弦信号通过系统的响应-tttf,sin)(0w由Euler公式可得)(21)()()(00ww--tjtjeejtf由虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为)(0)(000)()(21)(w---tjtjejHejHjty))(sin()(000wwwtjH))(sin()()}{sin(0000wwwwtjHtT同理))(cos()()}{cos(0000wwwwtjHtT结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。输出信号的幅度y(t)由系统的幅度函数|H(jw0)|确定，输出信号的相位相对于输入信号偏移了)(0w2.任意周期信号通过系统的响应将周期为T0的周期信号f(t)用Fourier级数展开为)/2()(000TeCtftjnnnwwtjntjnejnHeT00)(}{0因为故由系统的线性特性可得周期信号f(t)通过频率响应为H(jw)的系统的响应为-ntnnenHCty0j0)j()(ww若f(t)、h(t)为实函数，则有})(Re{2)0()(0010tjnnnejnHCjHCtyww[例2]求图示周期方波信号通过系统H(jw)=1/(a+jw)的响应y(t)。f(t)AtT0-T0-0解：对于周期方波信号，其Fourier系数为2Sa0wnTACn})(Re{2)0()(0010tjnnnejnHCjHCtyww可得系统响应y(t)为0010Re2Sa2)(wawawjnenTATAtytjnn由系统响应频域分析小结•优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。•不足：•（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。•（2）若激励信号不存在傅立叶变换，则无法利用频域分析法。•（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。•解决方法：采用拉普拉斯变换无失真传输系统与理想滤波器•无失真传输系统•理想滤波器的频响特性•理想低通滤波器•冲激响应•阶跃响应无失真传输系统若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为)()(dttfKty-K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。•时域特性)()(dttKth-•频域特性dteKjHwwj)(-其幅度响应和相位响应分别为KjH|)(|wdt)(ww-无失真传输系统的幅度和相位响应dtww-)(|H(jw)|w无失真传输系统应满足两个条件：(1)系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；(2)系统的相位响应(jw)在整个频率范围内应与w成正比。[例1]已知一LTI系统的频率响应为-11)((1)求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为f(t)=sint+sin3t(-t)时，求系统的稳态响应。解：(1)因为)(tan21)(ww--jejH所以系统的幅度响应和相位响应分别为)(tan2)(1)(1www--jH系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应(w)不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。))3(3sin()3())1(sin()1()(tjHtjHty)7952.03sin()2/sin(--tt(2)[例1]的输入和输出信号波形0-2-1012f(t)ty(t)π2π3π4π显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。理想滤波器的频响特性|HLP(jw)|wwc-wc|HHP(jw)|wwc-wc|HBP(jw)|ww1w2-w1-w2|HBS(jw)|ww1w2-w1-w2滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。理想低通理想高通理想带通理想带阻理想低通滤波器dcdtccωtepejH)(||0||)(-|H(jw)|1wwc-wc0(w)0wc-wcwctd-wctd截止角频率幅频响应|H(jw)|在通带0~wc恒为1，在通带之外为0。相频响应(w)在通带内与w成线性关系1理想低通滤波器的冲激响应dtejHthωtj)(21)(-wdteeωtωtdCCjj21-ww)]([Sa)(dccttth-ww)(thtdtwcKcdtw-cdtw理想低通滤波器冲激响应分析(1)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号(t)的波形，有失真。原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号(t)的频带宽度为无穷大。减小失真方法：增加理想低通截频wc。h(t)的主瓣宽度为2/wc，wc越小，失真越大。当wc时，理想低通变为无失真传输系统，h(t)也变为冲激函数。理想低通滤波器冲激响应分析(2)h(t)主峰出现时刻t=td比输入信号(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。(3)h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。2理想低通滤波器的阶跃响应--tdhthtg)()()(1wwd)]([Sadctct--xxtgdctt)d(Sa121)()(0-wg(t)ttdcdtw-cdtw10.5理想低通滤波器阶跃响应分析(1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。(2)阶跃响应的建立需要一段时间。阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr。tr=2/wc，即上升时间tr与理想低通截频wc成反比。wc越大，