28.8.5二次曲面(二)及习题课.

1确定的曲面称为双叶双曲面.2222221xyzabc8.5.3双叶双曲面:(a0,b0,c0)由方程用平面截割法可以得到该曲面形状.特点:平方项的系数一个取正号,两个取负号.2双叶双曲面xyzc3用平面截割法可以得到该曲面形状.8.5.4椭圆抛物面:由方程22(,)22xyzpqpq同号确定的曲面称为椭圆抛物面.4椭圆抛物面5用平面截割法可以得到该曲面形状.8.5.5双曲抛物面(马鞍面)由方程确定的曲面称为双曲抛物面.22(,)22xyzpqpq同号特点:异号的平方项,另一个变量是一次项,无常数项.6•用z=h截曲面hp0:双曲线-实轴∥x轴h=0:-两相交直线hp0:双曲线-实轴∥y轴•用y=h截曲面•用x=h截曲面2222xyhpqzh—抛物线开口向上∥zOx面—抛物线开口向下∥yOz面7xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面8.xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面9xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面用平面截割法可以得到该曲面形状.2222220xyzabc8.5.6二次锥面由方程确定的曲面称为二次锥面.(a0,b0,c0)特点:方程为二次齐次方程,平方项的系数两个取正号,一个取负号.二次锥面12一般三元二次方程化简问题设三元二次方程的一般形式为2221122331213231232220(,)(1)ijiaxayazaxyaxzayzbxbybzcabR不经过化简很难直接判断给定二次型表示什么曲面.由于要保持几何图形的形状,在对一般三元二次方程化简时,只能使用正交变换和平移.因为A是实对称的，可以通过正交变换X=PY,去掉交叉二次项,(1)式就变为1x12+2y12+3z12+d1x1+d2y1+d3z1+c=0(2)(2)式的二次项中只有平方项,再作一次平移变换(配方)就能把方程化成标准方程,即可判断(1)所表示的曲面.例1已知的秩为2.(1)求参数c及该二次型的矩阵的特征值.(2)指出方程f(x,y,z)=1表示何种曲面.解(1)|A|=0c=3(2)|λE-A|=0λ=0,4,9(3)求f在条件2221xyz下的最大值和最小值.222(,,)55266fxyzxyczxyxzyz15f=0x12+4y12+9z12因为f为实二次型,所以存在正交变换使,4y12+9z12=1为椭圆柱面.因为正交变换保形,f(x,y,z)=1也是椭圆柱面.(3)在条件下2221xyz2222221111110499()9fxyzxyz2222221111110490()0fxyzxyz所以f在下的最大值为9和最小值为0.2221xyz16001,TYY9f(0,0,1),T0Y取()90fXXXYYTT0000100XPY则,而111,TYY0f11XPY1TT111XXYY则,而()01fX为所求的最大值.为所求的最小值.(1,0,0),T1Y取17例2222(,,)626484820fxyzxyzxzxyz解(2)(4)(8)EA123842，，特征值：求A的属于特征值8,4,-2的特征向量,将其规范正交化,得A的规范正交的特征向量:602020206A在几何空间中表示什么曲面？18123220220,0,102222PPP12322022()00122022PPPP令为正交阵.19'''xxyyzzP2228'4'2'82'4'20xyzyz22''22'22''22xyzxy''2'1xxyyzz作平移变换228'4'22'140xyz2（）（）则202228424xyz得22211122xyz即单故叶该方程表示双曲面.第八章习题课配方法初等变换法正交变换法正定二次型定义法判定A合同于E顺序主子式0球面、柱面、旋转曲面标准方程化简投影曲线椭球、双曲2、抛物2、锥面正惯指数为n实二次型正定矩阵空间曲面二次曲面空间曲线化标准形惯性定理特征值全0实对称阵A=TQQ规范形实对称阵23同阶矩阵的等价、相似、合同A与B等价A经过初等变换得到BPAQ=B,其中P,Q可逆r(A)=r(B),其中A与B同形A与B相似1,PAPBA与B合同T,CACBC可逆TTXAXXBX与有相同的正负惯性指数.A,B实对称合同P可逆24选择题:曲线222533123xyzy轴旋转一周所成的曲面是(A)单叶双曲面、二次锥面．(B)单叶双曲面、双叶双曲面．(C)圆柱面、椭球面．(D)马鞍面、单叶双曲面．xOz在面上的投影曲线分别绕x轴和z例125解题方法消去一个变量可得投影柱面的方程,即可求出投影曲线的方程,再旋转即可.消去y得平行y轴的投影柱面方程为22223515153zxzx即221530zxy解投影曲线为26则绕x轴旋转得单叶旋转双曲面为:222153yzx绕z轴旋转得双叶旋转双曲面222153zxy所以选(B)．27例2222(5)25xyz圆的半径是.222102219xyzyxyz解此圆是球面2219xyz与平面的交线.222102520193122d球心(0,5,0)与此圆心的距离,即为球心到平面的距离222594.rRd故圆的半径428例3判断121211AB，(1)是否等价、相似、合同.(2)并求可逆矩阵P,使解()()31),(rrAB且A与B同形,A与B等价.(2)A的特征值为1,1,-1,B的特征值为2,-2,1,因为A与B的特征值不同,A与B不相似.T.PAPB29(3)但A与B合同,有相同的正负惯性指数.112,2;rc2323,;rrcc222,2rcT110022001110101P200002,010200001,020PT.PAPB经验算知30例4设矩阵2101020,()101kABE+A则当k满足什么条件时,B为正定矩阵.2()TTkBE+A2()TkE+A解A是实对称矩阵,2()kE+ABB也是实对称矩阵,则B也相似于对角阵.又A的特征值为2,2,0.得B的特征值为222(2),(2),.kkk2,0kk且时,B的特征值全0,于是B正定.31例5设A为n阶实对称矩阵，且满足3261160AAAE3261160AAAE证明A为正定矩阵.3261160证设为A的特征值，(1)(2)(3)01231,2,3即A的可能的特征值都0,A为正定阵.32例6设实二次型2221122231()()()nnfxaxxaxxax12,,,naaa正定,求满足的条件.解显然f0,而1122231000(1)0nnxaxxaxfxax而方程组(1)只有零解系数行列式331211111nnaaaa1121(1)0nnaaa12(1)nnaaa即当时,,R0nXX且2()0fXAX12(,,,)nfxxx实二次型正定.1121(1)0nnaaa当时,X都不是(1)的解,即0,AX34例7设为非零实矩阵,证明n元()ijmnaA实二次型211221()miiinnifaxaxax正定r(A)=n.111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA证112,nxxxX35111122121122221122nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax11121121222212nnnmmmnaaaxaaaxxaaaAX11211,njjjnjjjnmjjjaxaxaxTTXAAXT()()AXAX211()mnijjijax(,)AXAX36故有实二次型211221()miiinnifaxaxaxTT()XAAXr(A)=n.TAA由P21913知,实矩阵正定r(A)=n.故实二次型f正定也可以如下证明37,nXX且R0().nrA,nXXR0且T()()()fXAXAX则实二次型f正定.0AX(),nrA由故实二次型f正定r(A)=n.因f正定，知0,AX故方程组AX=0只有零解.知方程组AX=0只有零解.T()()0fAXAX20.AX证238例8证明n阶矩阵A正定的实列向量,使得12,,,nTTT1122nnAn个线性无关证T,QQA12(,,,)nQ设T1TT212T(,,,)nnQQATTT1122nn12,,,n线性无关,则实向量设A正定则n阶实可逆阵Q,使A正定TTTTT1122()nnAAA实的且39例9设n元实二次型,证明f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．TfXAX222121nxxx()TTTfXAXYPAPY时,有222121TnyyyYYTTTTXXYPPYYY12,,,nA是设的特征值,正交变换X=PY,使12,,,nk设是中最大者，当2221122nnyyy222121nyyy解则存在40222222112212()nnknkfyyyyyy1(,,,,)(0,,0,1,0,.0)TT0knyyyYT001YY22221122kknnkfyyyy222121nxxx所以在的条件下f的取XXYYTT0000100XPY而,且()()TTT00000kfXXAXYPAPYk最大值不超过．在条件222121nyyy下，41下的最大值恰为方阵A的最大特征值．222121nxxx0Xk这说明f在达到,即f在条件42例10合同关系是一个等价关系，如果把实对称矩阵按合同分类,即两个n阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有多少类?解题方法两个同阶实对称方阵合同的充分且必要条件是:有相同的正负惯性指数．43当秩为1时,有2类(正惯性指数分别为1与0)．当秩为0时,矩阵为零阵,它的正惯性指数,负惯性指数都是零,为一类．以此类推，当秩为n时，有n+1类（正惯性指数分别为n,n-1,…,1,0）．解当秩为2时,有3类(正惯性指数分别为2,1,0)．因此n元实二次型共有合同类为(2)(1)12(1)2nnSnn44珍惜时间认真复习45下次复习下次复习