3.1.1-两角差的余弦公式教学设计

1“§3.1.1两角差的余弦公式”教学设计朔州市一中李燕一、内容和内容解析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。二、目标和目标解析（1）目标：①经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，培养从已有知识出发探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。②探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式，体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。③掌握两角差的余弦公式的结构特征、变形以及应用，培养运用数学知识的能力以及逆用思维的能力。（2）目标解析：①联系已经学过的三角函数线探索三角函数问题是很自然的，鉴于学生独立的运用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式存在一定困难，我采用动画课件2的形式把这一探究过程逐步展示出来。让学生对公式的结构特征进行直观感知，使他们对公式有一个基本了解，并引起寻找适当方法推出公式的欲望。所以这种方法只要求理解。②向量工具的引入，使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。所以这一过程，鼓励学生独立探索和讨论交流，推导过程不要求一步到位，先抓住主要问题进行探索，然后再引导学生反思完善。这也是处理一般探索性问题应遵循的原则。在学生思维的困惑处，教师作简要提示。③为了体现“数学是有用的”，我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用，两角差的余弦也不例外。通过公式的正用、逆用，达到掌握公式的目的。三、教学问题诊断分析1、学生初次遇到两角差的余弦这个概念，会感到陌生。我采用联系诱导公式的方法，让学生思维过渡自然。而且通过一组诱导公式还可以看出两角差的余弦与哪些值有关，为公式的得出做第一步铺垫。2、如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦？我采用：一是让学生联系相关已学知识，二是联系数学思想方法（数形结合思想）来处理问题，把学生的思维引到三角函数线上。3、用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，绝大多数学生的思维没达到这个高度。所以这个内容以我制作的课件为主，学生做到理解就可。4、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识，努力使数学思维显得自然、合理．5、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的预习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。6、鉴于学生的水平不同，我采用分层作业。有必做题和选做题两部分。四、教学支持条件分析3整节课借助多媒体进行辅助教学，当、、-都是锐角时用三角函数线得到两角差的余弦公式，这个内容比较复杂，用PowerPoint演示，通过色彩的强烈对比突出效果。与向量夹角之间的关系，利用几何画板课件演示，可以将抽象的问题直观化。但关键的探究过程和推理过程要借助黑板，即时完成必要的演算推证过程，比课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片要效果更好。五、教学过程设计(1)创设情境，引入新课：请同学们思考问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角∠CAD约为45°,∠CAB=15°。求AD长度。解：AD=120cos15°=120cos（60°－45°）问题一：不借助计算器如何求cos15°的值？我们可以有什么思路呢？（提示：请联系我们已经学过的特殊角的三角函数值，可以将15°写成什么？）生：cos（45°－30°）或者cos（60°－45°）等两角差的余弦形式。师：那么是否可以根据45°和60°的三角函数值来求出15°的余弦？这就是我们这节课要研究的问题。更一般的来说，我们这节课要研究的就是：能不能用、的三角函数值把－的余弦值表示出来。学生行为分析与设计意图：①基于人的由低到高的认知规律，把新内容的起点定的越低学生越容易入门。所以我将原教材例子作了修改，使得学生可以当堂解决这个实际问题，做到课的前后呼应，还能体现数学来源于生活，又应用于生活的思想。C150°D45°60AB4②渗透角的变换的思想，把非特殊角15°拆成60°与45°之差。角的变换是这一章三角恒等变换的一种。(2)联系就知，自然过渡：问题二：其实我们之前已经接触过两角差的余弦，大家想想在哪呢？（提示：学生如果想不起来，可以翻教材寻找）生：诱导公式中就有好多两角差的余弦形式。师：诱导公式是特殊的两角差的余弦，我们就从诱导公式看起。对于cos()，令2，则cos()sin2令，则cos()cos令2，则cos()sin2令，则cos()cos学生行为分析与设计意图：①从新旧知之间的联系入手，让学生对新知不陌生。②通过一组示例，让学生发现cos()的值与sin、cos、sin、cos的值都有关系，为最终公式的得出做小小的铺垫。师：从这一组诱导公式可以看出：cos()的值与哪些值有关？生：与sin、cos、sin、cos的值都有关系。(3)数形结合，探求新知：问题三：怎么求出cos()与sin、cos、sin、cos之间的具体关系呢？我们知道在我们数学中，数形结合思想有时可以帮助解决问题，那么这个三角函数问题能不能用“形”来解决呢？三角函数的形又是什么呢？5生：是三角函数线。学生行为分析与设计意图：上节课结束时，我领着学生回忆了三角函数的几何表示：三角函数线。所以在这里学生联系到三角函数线，应该不费劲。师：下面我们就用三角函数线来研究cos()与sin、cos、sin、cos之间的关系。因为角的终边所处的象限不同，画出的几何图形会有很大差别，所以我们先研究最简单的情况，也就是、、()都为锐角时的情况。展示课件：作单位圆O，设角的终边与单位圆交与点A,作∠AOP=,则∠xOP=()。①过点P做PM垂直于x轴，垂足为M，则OM=cos()。②过点P做PD垂直于OA，垂足为D，则DP=sin，OD=cos；过点D做DB垂直于x轴，垂足为B，则OB=ODcos=coscos。③过点P做PC垂直于DB,垂足为C,则∠PDC=，CP=sinsin。④于是：OM=OB+BM=OB+CP=coscos+sinsin。即：cos()=coscos+sinsin。学生行为分析与设计意图：这个推导过程对于学生来说，比较繁琐。所以我制成动画课件把探索过程逐步展示出来。师：借助三角函数线的知识，我们解决了上课开头的实际问题，AD=30(62)师：：那么是否对任意角、都有cos()=coscos+sinsin成立呢？请同学们分组讨论。学生活动：汇总学生的讨论结果如下：6有些组认为该公式仍然成立，因为他们借助计算器做了好多组非锐角试验，公式都成立；另外有些组认为不一定成立，理由是即使试验了上万组数据都能使公式成立，仍无法得出公式一定成立，因为数学是很严谨的。师：大家说的都很好。我们现在的目标就集中在该公式在任意情况下的证明。如果继续沿用刚才的三角函数线来证明，因为三角函数线所处象限不同，带来的几何关系就会不同，那么我们需要分类讨论的情况将会非常多，那么有没有其他更好的证明方法呢？(4)借助向量，完善新知：问题四：我们再来认真观察这个公式的右侧coscossinsin，把cos、sin拿出来作为一个有序数对（cos，sin），你想到了什么？（提示：有序数对与什么是对应的）生：（cos，sin）是平面直角坐标系中，角终边与单位圆交点的坐标。而且（cos，sin）是角终边与单位圆交点的坐标。所以coscossinsin是一个数量积的形式。学生行为分析与设计意图：关于点的坐标以及数量积的概念与坐标表示，我在上一节课最后都和学生做了简单复习。为的是给这节课学生的思维做铺垫，而且用起来不生疏。师：联系的非常好！那么具体的如何用向量知识来证明呢？这个过程交给大家来完成。（提示：由向量数量积的坐标表示和数量积的定义，ab分别等于什么？）学生活动：在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角,，其终边分别与单位圆交于)sin,(cos1P,)sin,(cos2P，则1OP)sin,(cos,2OP)sin,(cos，21OPP，由数量级的坐标表示,1OP2OP=sinsincoscos，7由数量积的定义，1OP2OP=|1OP||2OP|cos()=cos()所以cos()=sinsincoscos，学生行为分析与设计意图：大多数学生在这个问题会犯思维不完善的错误，会把()当做两向量夹角，我之所以专门这样安排问题，是因为最本真的探索过程往往不是一步到位的，我们可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题进行探索，然后再做反思，予以完善。师：我们的推导过程在细节上有没有问题？（提示：如果学生看不出来，我可以提示向量夹角的范围是什么？）生：不一定是向量夹角，它们的关系应该是=2k。所以根据诱导公式得：cos=cos()=sinsincoscos，公式得证。学生行为分析与设计意图：引导学生关注两个向量的夹角与间的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性．师：同学们做得非常好。我们用向量的方法推导出了这个公式，能否说明该公式对任意角、都是成立的？为什么？生：都成立。因为在整个推导过程中，所用到的点的坐标与数量积的相关知识对任意角、都成立，而且我们做得是恒等变形，所以最终得出的公式是对任意角都成立。学生行为分析与设计意图：①强调公式的适用条件。②为下一节内容两角和差的正弦、余弦做基础。（5）小结过程，升华主题问题五：哪位同学可以对我们这节课从一开始到现在的推导过程做一小结呢？生：首先我们遇到实际问题，涉及到求cos（60°－45°）的值，紧接着我们用8数形结合的思想，借助三角函数线推导出当、、都为锐角时，cos()=sinsincoscos成立，最后我们用数量积的知识证明了对任意角cos()=sinsincoscos都成立。学生行为分析与设计意图：这一小结过程不一定一个学生就可以十分完整的描述下来，可以多叫起几个学生，或者是教师自己对学生的回答加以补充。可以让学生感知用最准确的数学语言来描述一个数学过程。师：回答的非常好！同学们，每一点科学知识的发现，都不是一蹴而就的，要历经好多曲折，但是我们要有一颗坚定的心，永不休止的朝着我们的目标前进。最终胜利的曙光会在前方等着我们。正如数学家高斯所说：“一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的。”（6）钻研成果，透彻理解问题六：两角差的余弦公式在结构上