微积分小论文

微积分中的“辅助线”PB09203XXX摘要：在微积分的学习与作业中，不难发现在一些等式的证明中，常毫无思路，看了答案之后拍案惊奇。一些变化仿佛横空出世，添加一项或是减去一项，或整个变换形式，通过辅助函数。这便是构造。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，通过整理，综合构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。关键词：微积分辅助函数等式微分中值定理构造在以往的学习中无论是数学还是物理，遇到难题没有一点思路，最后一般我们都是采用了曲线救国，如几何中的辅助线法。或许直走也能通，但当我们站在目的地回望，便会发现做题过程中，并不是亮点之间直线最短，曲线往往才是最快的捷径，这便像从山前到山后，当然从山脚绕过去比一股脑的从高山上越过去方便的多。微积分中亦是如此，当命题过于抽象难以解决时，顺着做下去可能就遇到一些知识与技巧上无法凭己之力翻越的高山。感觉所熟知的定理都不能直接使用。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题，从山脚绕过去。构造在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造，即构造函数，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。下面我们便走进构造。一、构造函数法在基本定理证明中的运用微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数研究一些函数性质的重要途径。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为微积分学习中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点(,)zab使得某个含有z的等式成立。处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange定理和Cauchy定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，如利用函数的几何图像等。用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际做题中如不是做了很多题很有经验，常常会无从下手，不能成功构造。如果考虑到lagrange中值定理和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。著名的牛顿—莱布尼茨公式()()bbaafxdxFx里的()Fx连续函数()fx在,ab上的一个原函数。在证明了这一结论的过程中，也用到了构造。巧妙地运用了积分上限函数()()xaxftdt，这是个构造函数，最大的特点就是满足()()xfx。正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非常重要的公式。二、利用构造函数与中值定理证明命题基本定理的证明中已经用到构造，利用基本定理证明新命题的时候又利用构造往基本定理上靠拢。而证明的方法也是多种多样的，但常用的归结起来也就几种。其中我们接触最多的便是原函数法。这是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，首先先将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，一般常用移项将等式一端变换为常数0，等式中的变量便作为函数变量，再设法求出原函数，即得所需的辅助函数，最后结合微分中值定理，推导出结论来。例1：证明()fx在,ab连续，,ab可导，则存在(,)ab，使222(()())()()fbfabaf。证明一：将要证的结论变形得22()()()2fbfafxba，将等式中的记为x，即22()()()2fbfafxxba，然后积分得222()()()fbfafxxcba，得到辅助函数222()()()()fbfaFxcfxxba，显然()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，又因为2222()()()()bfaafbFaFbba，满足罗尔定理，所以存在(,)ab，使得()0F，故222(()())()()fbfabaf。证毕例2证明中在构造辅助函数时用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]ab上的性质，然后运用罗尔定理推导出结论。如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下证明二：将要证明的等式中的记为x，然后积分得222(()())()()xfbfabafx，得到辅助函数222()(()())()()Fxxfbfabafx，可知，()()FaFb。故由罗尔定理可得222(()())()()fbfabaf。证毕通过例子的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，同一道题可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。方法是多样的，但思想是一致的，即从结论出发，对条件进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，让这个构造函数能够满足微分中值定理的条件，进而利用中值定理得出要证明的结论。又如利用积分上限函数做辅助函数，应用函数的单调性解题例：设f(x)是[a,b]上的连续函数且单调增加，求证：babadxxfbadxxxf)(2)(证明：作辅助函数：xaxadttfxadtttfx)(2)()(，显然0)(a)()(2),)((2))((21)(2)(2)(21)()'(fxfaxxaxfaaxfxfxxfxadttfxxfxxa因为f(x)在ba,上单调增加，故0)(x，从而)(x在ba,内单调增加，于是0)()(ax，取x=b即得命题。有时不易直接用原函数法，就可以试着考察命题中需要证明的结论与微分中值定理的结论有哪些相近的形式，再构造相应的函数，必要时可考虑其几何意义例：设函数f(x)在ba,上可导，且ab0，则在（a,b）上必存在一点，使得)(')()()(1ffbfafbaba证明：左式如下变形abaafbbfbfafbaba11)()()()(1根据上式右端结构特征，分子是xxf)(型，分母是x1型，所以构造辅助函数xxfx)()(xx1)(，再将它们与柯西中值定理联系起来。又已知ab0,故ba,上不存在x=0点，从而在（a,b）上有01)('2xx易验证俩函数符合中值定理，于是在开区间（a,b）上存在一点，使得：)(')(')()()()(abab即使命题得证除此之外还有我们很少遇到且较难掌握的如微分方程通解法与行列式法微分方程通解法一般适用于如下形式：函数()fx在区间,ab上连续，在(,)ab内可导，且满足一定的条件，求证存在一点(,)ab，使得()[,()]ff。在处理这一类的问题时，可以先解微分方程(,)yxy，得到通解(,)Gxyc，则可构造出辅助函数为()(,)FxGxy，这种处理的方法就是微分方程通解法。在一些微积分等式命题的证明中，构造辅助函数可以利用行列式的性质及行列式函数的求导公式的特点来构造辅助函数，再利用微分中值定理完成命题的证明。而行列式法便是由行列式推导法延伸而来。行列式函数求导公式：设有行列式表示的函数1112121222112()()()()()()()()()()nnnnnatatatatatatDtatatat，其中()ijat（i，j=1，2，，n）的导函数()ijat都存在，则1112121222112312()()()()()()()()()()()()()nnnkkkknnnnatatatatatatdDtatatatdtatatat其细节在例子中体会例：设()fx在,ab上连续且二阶可导，则在(,)ab内至少一点，使得()()()()1()2fxfafbfaxabafxb。证明：变换结论等式，对于axb，存在(,)ab，使得()()1()()()()()()2fbfafxfaxaxaxbfba，令()()()()()()fbfaFxfxfaxaba，则()Fx在,ab上连续，()()0FaFb，且()gx在(,)ab内二阶可导，()()Fxfx。对于axb，构造辅助函数22222222()1()1()1()1()()101()101FtttFtttFxxxFxxxhtFaaaaaFbbbbb，则易知()ht在,ab上游三个相异的零点，即123,,tatxtb，故由罗尔定理可知()ht在(,)ab内至少有两个相异的零点，从而再由罗尔定理知()ht在(,)ab内至少有一个零点，即存在(,)ab，使得()0ht，而222()210()1()()1()1FttFxxxhtFaaaFbbb，222()200()1()()1()1FtFxxxhtFaaaFbbb，故由()0ht得()()()()2()()0FxaxbababFx，即1()()()()2FxxaxbF，所以可知()()1()()()()()()2fbfafxfaxaxaxbfba，从而可得出结论()()()()1()2fxfafbfaxabafxb。证毕行列式构造函数法首先将结论等式变换，使得等式一端不含有(),()ff等导数形式，再利用行列式构造出辅助函数如2222()1()1()()1()1FtttFxxxhtFaaaFbbb的形式，然后对()ht求导，在结合微分中值定理，继而得出结论。虽然举的例子不难，只是希望从小例子中领会大精神。我们不难看出，利用辅助函数求解微积分问题，其实用性高，应用范围广，步骤简明，方法多样，实为我们应该掌握的解题利器。构造函数乍看之下好像天外飞仙，而从深层次来看，所构造的函数恰恰反映了命题的一些本质的东西，如其几何意义。因此构造函数也是建立在对题目有着深刻理解的基础上的一种较为高级的方法。上面举的例子只是冰山一角，真正掌握需要我们大量练习，再通过思考总结感悟出其中的一套规律。构造作为一种数学思想而非特定某一领域的小技巧，已经陪伴我们学习多年，相信在今后的学习中，在其他门科目，如将要到来的复变函数中也会大有用武之地，掌握思想，融会贯通，便可以将“辅助线”一直漂亮的画下去，变天外飞仙为天马行空。参考文献：1．裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》高等教育出版社2006年第二版2.吉米多维奇原著费定晖编《吉米多维奇数学分析习题集——提示·解题思