常微分方程试题库试卷库

常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若12(),(),,()nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、3()0ydxxydy２、sincos2xxtt３、若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求expAt４、32()480dydyxyydxdx５、求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案一填空题１、()MNyxxN()MNyxyM２、2()()()dypxyQxyRxdxyyz３、()()ndypxyQxydx(1)()(,)npxdxnuxyye４、12[(),(),,()]0nwxtxtxt５、11110nnnnnnndyddyxaaaydxdxdx６、()()ttC７、零稳定中心二计算题１、解：因为1,1MNyx，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln21()dyyyyeey，两边同乘21y得320dxxydyyy所以解为321xxyydxdycyyy22xycy即22()xyyc另外y=0也是解２、线性方程0xx的特征方程210故特征根i1()sinftti是特征单根，原方程有特解(cossin)xtAtBt代入原方程A=-12B=02()cos2ftt2i不是特征根，原方程有特解cos2sin2xAtBt代入原方程13AB=0所以原方程的解为1211cossincoscos223xctctttt３、解：221()69014p解得1,23此时k=112n12v111123322120()()(3)()!ititittteAEeti由公式expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)01111tttttAteEtAEetett４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx令dypdx则有3284pyxyp（*）（*）两边对y求导：322322(4)(8)4dpypypypypdy即32(4)(2)0dppyypdy由20dpypdy得12pcy即2()pyc将y代入（*）2224cpxc即方程的含参数形式的通解为：22224()cpxcpycp为参数又由3240py得123(4)py代入（*）得：3427yx也是方程的解５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xxxyxyxdxxxxyxdxxxxxxxxyxdx三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt考虑10200100010[(),(),,()]10001nwxtxtxt从而()(1,2,)ixtin是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxf分别为x.y的连续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里xxQxP为)().(的连续函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.03、如果存在常数使得不等式,0L_____________对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(),,21函数),(yxf称为在R上关于y满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21aa5、设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_____________-。二、计算题40%1、求方程的通解。26xyxydxdy2、求方程xyexydxdy的通解。3、求方程texxx25'6''的隐式解。4、求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy三、证明题30%1.试验证t=122ttt是方程组x'=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt上的基解矩阵。2.设t为方程x'=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:t1(t0)=(t-t0)其中t0为某一值.《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）1)()(yxfdxdy2、nyxQyxPdxdy)()(z=ny13),(),(21yxfyxf21yyL4、011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn5、)()()(ttt二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1y,算得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为z=826xxc带回原来的变量y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：xyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxy积分：cxexy221故通解为：0212cexxy3、解：齐线性方程05'6''xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程tttteAeAeAe22225124211A于是原方程通解为ttteecectx2521211)(4、解0)(0xxxdxxxx022012)]([)(202)]([)(502212xxdxxxxx4400160202)]([)(118502223xxxxdxxxxx三、证明题（每题15分）1、证明：令t的第一列为1(t)=tt22,这时'1(t)=22t=tt221021(t)故1(t)是一个解。同样如果以2(t)表示t第二列，我们有2(t)=01=tt221022(t)这样2(t)也是一个解。因此t是解矩阵。又因为dett=-t2故t是基解矩阵。2、证明：（1）t,(t-t0)是基解矩阵。（2）由于t为方程x'=Ax的解矩阵，所以t1(t0)也是x'=Ax的解矩阵，而当t=t0时，(t0)1(t0)=E,(t-t0)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得t1(t0)=(t-t0)3、设)(t为方程Axx（Ａ为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E，证明)(t)()(001ttt其中0t为某一值。3、证明：)(t为方程Axx的基解矩阵)(01t为一非奇异常数矩阵，所以)(t)(01t也是方程Axx的基解矩阵，且)(0tt也是方程Axx的基解矩阵，且都满足初始条件)(t)(01tE，Ett)0()(00所以)(t)()(001ttt常微分方程期终考试试卷（5）一．填空题（30分）1．)()(xQyxPdxdy称为一阶线性方程，它有积分因子dxxPe)(，其通解为_________。2．函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果_______。3．若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn______。4．方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。5．函数组ttteee2,,的伏朗斯基行列式为_______。6．若),,2,1)((nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若)(t是xtAx)('的基解矩阵，则向量函数)(t=_______是)()('tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_____是)()('tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,,,21，它们对应的特征值分别为n,,21，那么矩阵)(t=______是常系数线性方程组Axx'的一个基解矩阵。9．满足_______的点),(**yx，称为驻定方程组。二．计算题（60分）10．求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。11．求方程0xedxdydxdy的通解。12．求初值问题0)1(22yyxdxdy1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13．求方程ttxx3sin9''的通解。14．试求方程组)('tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA三．证明题（10分）16．如果)(t是Axx'满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt常微分方程期终考试试卷答案一．填空题（30分）1．))(()()(cdxexQeydxxPdxxP2．),(yxf在R上连续，存在0L，使2121),(),(yyLyxfyxf，对于任意Ryxyx),(),,(213．1)!1(nnhnML4．4141x5．ttttttttteeeeeeeee222426．)()()(1txtxctxinii7．dssfsttt)()()(10dssfsttttt)()()()()(01018．ntttveveven,,,21219．0),(,0),(yxYyxX二．计算题（60分）10．解：yxxNyxyM226,8yMxNyM21积分因子2121)(