八年级秋季班-第12讲：正反比例函数综合-教师版

正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是ykx，或表示为ykx，k是不等于零的常数．2、解析式形如ykx（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数ykx的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数ykx（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数ykx的图象叫做直线ykx．4、正比例函数图像的性质：（1）当k0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大．正反比例函数综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析2（2）当k0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx（k是常数，0k）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)mymx：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【难度】★【答案】（1）6；（2）2．【解析】（1）因为函数为正比例函数，则有251m，解得：6m，又函数y随着增大而增大，即可得10km，得：6m；（2）因为函数为反比例函数，则有251m，解得：2m，又函数y随着增大而增大，即可得10km，得：2m．例题解析3【例2】（1）函数2yx与3yx的图像的交点坐标是_______________；（2）函数121yxyx与的图像的交点坐标是___________．【难度】★【答案】（1）662，，662，；（2）122，，11，．【解析】（1）令32xx，解得162x，262x，对应函数值分别为16y，26y，即两函数图像交点坐标为662，和662，；（2）令121xx，解得112x，21x，对应函数值分别为12y，21y，即两函数图像交点坐标为122，和11，．【总结】考查函数图像交点的求取，让两函数相等解方程即可，注意对应纵坐标．【例3】已知直线2ymx与双曲线1kyx的一个交点A的坐标为(12)，，则mk=________；它们的另一个交点坐标是___________．【难度】★【答案】4，12，．【解析】2ymx和1kyx过点12A，，则有22m，12k，解得：1m，3k，则4mk，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称，可知另一交点坐标为12，．【总结】考查根据正反比例函数图像上一点求对应的函数解析式及交点坐标．【例4】若y与1x成正比例关系，z与x成正比例关系，则y与z成___________关系．【难度】★【答案】反比例．【解析】依题意可设1110ykkx，220zkxk，则有12kkyz，可知y与z成反比例关系．【总结】考查几个变量的相互关系的推导，设比例系数转化即可．4【例5】若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B(312)ab，，则2ab的值为___________．【难度】★★【答案】9．【解析】正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，即21B，，即得：31221ab，解得：13ab，则2239ab．【总结】考查平面直角坐标系中正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称．【例6】若直线1100xy与双曲线2(0)mymx的图像有两个交点，则m的取值范围是___________．【难度】★★【答案】0m．【解析】因为1100xy与2(0)mymx有两个交点，即方程100xmx有两个不相等的实数根，由此可得：20100xm．【总结】考查交点问题，转化为方程根的问题，实际上，本题考虑函数所在象限相同即可．【例7】如图，正比例函数1(0)ykxk和反比例函数2(00)kykxx，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（）．【难度】★★【答案】DAxyOByxODyxOCyxO5【解析】比例系数k决定正反比例函数所在象限，0k时，相应的正反比例函数图像都在一、三象限，0k时，相应的正反比例函数图像都在二、四象限，正反比例函数图像必有交点，符合0x的条件，满足条件选项为D．【总结】考查根据比例系数与0的大小关系确定正反比例函数图像所在象限解决问题，也可直接进行分类讨论．【例8】若A、B两点关于y轴对称，点A在双曲线14yx上，点B在2yx上，则B点坐标是_________．【难度】★★【答案】22，或22，．【解析】设点4Axx，，因为A、B关于y轴对称，则有4Bxx，，又B在2yx上，则有4xx，解得：2x，即得22B，或22B，．【总结】考查正反比例函数性质的综合应用．【例9】正比例函数1(0)ykxk和反比例函数21yx的图像交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，若△ABC的面积是S，求S的值．【难度】★★【答案】1．【解析】根据反比例函数的几何意义，可知12AOBS，正反比例函数两交点坐标关于原点对称，由此可知12BOCAOBSS，则有1AOBBOCSSS．【总结】考查反比例函数的几何意义和正反比例函数两交点关于原点中心对称的综合应用．6【例10】已知正比例函数1(1)ykx与反比例函数21myx交于A、B两点，且点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．【难度】★★【答案】2yx，2yx．【解析】正反比例函数两交点关于原点中心对称，由此可知12A，，12B，，两函数过点12B，，则有1212km，即两函数解析式分别为2yx和2yx．【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用．【例11】已知反比例函数11kyx和正比例函数22ykx的图像交于点（2，3），（1）求这两个函数解析式；（2）判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3）求两个函数图像的另一个交点．【难度】★★【答案】（1）反比例函数：6yx，正比例函数：32yx；（2）在；（3）23，．【解析】（1）因为正、反比例函数交于点（2，3），则有132k，223k，解得：16k，232k，即得两个函数解析式分别为6yx和32yx；（2）由166，可知点（1，6）在反比例函数图像上；（3）正反比例函数图像两交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为23，．【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用．【例12】已知函数(1)ykx的图像上一点A(03)，，并且它和反比例函数的图像交于点B（2，m）求反比例函数的解析式．【难度】★★【答案】6yx．7【解析】函数(1)ykx过点A(03)，，则有3k，解得：3k，则函数解析式为31yx，令2x，得3my，即23B，，设反比例函数解析式为ayx，则有32a，解得：6a，即反比例函数解析式为6yx．【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式．【例13】已知函数124mymxyx，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标．【难度】★★【答案】12，和12，【解析】令1x，则有1ym，24ym，两函数相交，令12yy，即4mm，解得：2m，此时122yy，则一个交点坐标为12，，两函数交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为12，．【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式．【例14】已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线kyx与正方形有公共点，求k的取值范围．【难度】★★【答案】19k．【解析】因为正方形边长为2，中心位于点（2，2），可得正方形四个顶点坐标分别为11，，31，，13，，33，，反比例函数与正方形由公共点，临界情况分别为过点11，和33，，对应k值分别为1111k，2339k，由此可得19k．【总结】考查确定相应变量取值范围，找准对应的临界值情况即可．8【例15】已知12yyy，其中1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当1x时，5y，当4x时，18y，求：（1）y与x的函数解析式；（2）当2x时，y的值．【难度】★★【答案】（1）31477yxx；（2）62227．【解析】（1）令111(0)ykxk，222(0)kykx，则有2121kyyykxx，根据题意则有122154182kkkk，解得：1231747kk，则31477yxx；（2）令2x，则有314622227772y．【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．【例16】已知：1223yyy，1y与3x成正比例，2y与x+8成反比例，且当1x和5x时，y的值分别是3和-11，求y和x之间的函数关系式．【难度】★★【答案】2071038yxx．【解析】令113ykx，228kyx，则有2121323238kyyykxx，根据题意则有21213439316113kkkk，解得：12569kk，则2071038yxx．【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．9【例17】在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12yx和正反比例函数26yx的图像相交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4，（1）求P、Q两点的坐标；（2）求△APQ的面积．【难度】★★【答案】（1）323P，，323Q，或323P，，323Q，；（2）83．【解析】（1）令12yy，即62xx，解得：13x，23x，对应y值分别为23和23，即得P、Q两点坐标分别为323，和323，或323，和323，；（2）点A在x轴负半轴，且与原点距离为4，可得40