相似准则

第六讲相似理论1.相似概念2.相似准则3.量纲知识4.近似模型实验由于许多力学问题很难用数学方法去解决，必须通过实验来研究。然而直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量之间的规律性关系。还有许多现象不宜进行直接实验，例如飞机太大，不能在风洞中直接研究飞机原型的飞行问题；而昆虫的原型又太小，也不宜在风洞中直接进行吹风实验；况且，直接实验方法往往只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象的本质。我们更希望用缩小的飞机模型或放大的昆虫模型进行研究。那么我们最关心的问题就是从模型的实验结果所描述的物理现象能否真实再现原来物理现象？如果要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。1.相似概念•同类现象：两个物理现象服从同一规律，可用同一物理方程来描述。•单值条件：能够把一个现象从同类现象中区分出来的条件。①几何条件——现象的空间几何特征②物性条件——描述现象的物理方程中所包含的与物体性质有关的具体物理量大小，如空气密度，粘性系数③边界条件——边界的性质和发生在边界上的流动情况④时间条件——非定常现象的初始条件现象相似物理方程相同单值条件相似相似是指组成模型的每个要素必须与原型的对应要素相似，包括几何要素和物理要素，其具体表现为由一系列物理量组成的场对应相似。对于同一个物理过程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。在流动现象中若两种流动相似，一般应满足几何相似，运动相似，动力相似。流场相似是指两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点和各对应时刻，对应的物理量成一定的比例。1.1几何相似几何相似是指用于实验的模型和待研究的实物（原型）全部对应的线性长度成同一比例。比如管道，线性长度包括管内径𝑑、长度𝑙和粗糙度𝜀，于是𝑑𝑚𝑑=𝑙𝑚𝑙=𝜀𝑚𝜀=𝑘𝑙式中，𝑘𝑙为长度比例系数，加脚标𝑚的字符表示模型参数，未加脚标的表示原型参数。几何相似，模型与原型的对应面积、体积也必然成一定比例，面积比例系数𝑘𝐴=𝐴𝑚𝐴=𝑙𝑚2𝑙2=𝑘𝑙2体积比例系数𝑘𝑉=𝑉𝑚𝑉=𝑙𝑚3𝑙3=𝑘𝑙31.2运动相似运动相似是指流体运动的速度场相似，即模型和原型在满足几何相似的基础上在流场的所有对应点和对应时刻流速方向相同，流速的大小成相同的比例，速度比例系数𝑘𝑣=𝑣𝑚𝑣速度场相似也意味着对应流体质点通过对应距离的时间成一定比例，时间比例系数𝑘𝑡=𝑡𝑚𝑡=𝑙𝑚/𝑣𝑚𝑙/𝑣=𝑘𝑙𝑘𝑣同样，加速度比例系数𝑘𝑎=𝑎𝑚𝑎=𝑣𝑚/𝑡𝑚𝑣/𝑡=𝑘𝑣𝑘𝑡=𝑘𝑣2𝑘𝑙可见，在相似现象中，各物理量的比例系数不能任意选择，而是相互制约的。如果长度、速度比例系数确定，则加速度比例系数随之确定，反应流场运动特性的其他参数（如角速度、运动粘度等）都可以用长度、速度比例系数表示出来。1.3动力相似动力相似是指模型和原型在所有对应点和对应时刻，作用的所有力的方向相同，大小成相同的比例，𝐹𝑝𝑚𝐹𝑝=𝐹𝜇𝑚𝐹𝜇=𝐹𝑔𝑚𝐹𝑔=⋯=𝑘𝐹式中，𝐹𝑝、𝐹𝜇、𝐹𝑔分别表示压力、粘性力和重力。两个流场动力相似，反应流场动力特性的其他物理量（如力矩、密度、动力粘度等）也对应成一定比例，其比例系数可以用长度、速度和力比例系数表示出来，例如密度比例系数𝑘𝜌=𝜌𝑚𝜌=(𝐹𝑎)𝑚𝑉𝐹𝑎𝑉𝑚=𝑘𝐹𝑘𝑣2𝑘𝑙2由于两个流场的密度比例系数通常是已知的，故选取𝑘𝜌作为基本的动力比例系数，用𝑘𝜌、𝑘𝑙、𝑘𝑣表示其他的动力特性物理量的比例系数。另外，流场相似还包括热相似、边界条件和初始条件相似等。满足以上相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。相似准则又叫“相似参数”、“相似模数”、“相似判据”等，是在判断两个现象之间相似性时使用的概念，目前是实验流体力学（或者风洞实验设计）中应用比较广泛。一般来说，相似准则是一些无量纲组合数。2.相似准则以一个质量为𝑀的物体受到外力𝐹作用产生加速度这一简单现象为例，由牛顿第二定律，𝐹=𝑀𝑑𝑣𝑑𝑡另一物体在相似力学现象下，物理方程，𝐹𝑚=𝑀𝑚𝑑𝑣𝑚𝑑𝑡𝑚由𝑘𝐹=𝐹𝑚𝐹，𝑘𝑀=𝑀𝑚𝑀，𝑘𝑣=𝑣𝑚𝑣，𝑘𝑡=𝑡𝑚𝑡,代入相似模型方程中𝑘𝐹𝑘𝑡𝑘𝑀𝑘𝑣𝐹=𝑀𝑑𝑣𝑑𝑡与原模型比较，应有𝑘𝐹𝑘𝑡𝑘𝑀𝑘𝑣=1𝑘𝐹𝑘𝑡𝑘𝑀𝑘𝑣这种比例系数的组合称为相似指标，相似指标必等于1，这是相似现象的重要性质。亦即𝐹𝑡𝑀𝑣=𝐹𝑚𝑡𝑚𝑀𝑚𝑣𝑚=常数这几个特征物理量组合而成的无量纲量称为牛顿数，用符号𝑁𝑒表示。模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，就是牛顿相似准则。如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六种力，而且满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。惯性力与压力（或压差）之比：Fi/Fp惯性力与重力之比：Fi/fg惯性力与摩擦力之比：Fi/Fv惯性力与弹性力之比：Fi/Fe惯性力与表面张力之比：Fi/Ft上述五式式分别引入了五个无量纲数，它们依次是：1）欧拉数Eu=2Δp/(ρ·V^2)，例如以后经常用到的表示物体表面压力分布的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。物理上，欧拉数表征了惯性力与压强梯度间的量级之比。2）弗劳德数Fr=V/sqrt(l·g)，物理上，弗劳德数表征了惯性力与重力间的量级之比，是一个表征流速高低的无量纲量。3）雷诺数Re=Vl/υ,物理上，雷诺数表征了相似流动中惯性力与粘性力间的量级之比，流动的Re数小，表示与惯性力的量级相比，粘性摩擦力的量级要大得多，因此可以忽略惯性力的作用；反之,Re数大则表示惯性力起主要作用，因此可以当作无粘流体处理。4）马赫数Ma=V/c,物理上，马赫数表征了惯性力与弹性力间的量级之比，是气体可压缩性的度量，通常用来表示飞行器的飞行速度或者气流的流动速度。5）韦伯数We,物理上，韦伯数表征了惯性力与表面张力间的量级之比。可以看出，Eu、Fr、Re、Ma和We都是无量纲数，在相似理论中称作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相等，则这两个现象一定相似3.量纲知识量纲是物理量的一种表达形式，用来指明物理量的类别。同一类量数值、单位虽不同，但它们具有相同的量纲，并用相应量纲符号表示，如长度单位有𝑚,𝑐𝑚,𝑚𝑚等，它们的量纲为𝐿；时间单位有ℎ,𝑚𝑖𝑛,𝑠等，它们的量纲为𝑇；质量单位有𝑡,𝑘𝑔,𝑔等，它们的量纲为𝑀；温度单位有℃,𝐾，它们的量纲为Θ。•基本量纲与导出量纲彼此独立、不能互相导出的量纲称为基本量纲。在流体力学中通常选取长度、时间和质量的量纲𝐿、𝑇、𝑀为基本量纲，涉及热现象时，增加温度的量纲Θ，其余物理量的量纲都可以用基本量纲表示出来。一个物理量𝑥的量纲记为𝑑𝑖𝑚𝑥或[𝑥],则𝜌=𝑀𝐿−3,𝑣=𝐿𝑇−1,𝑎=𝐿𝑇−2,𝐹=𝑀𝐿𝑇−2,等等。•量纲的一致性在正确反映客观规律的物理方程中，相加减的各项的量纲应该是一致的。4.近似模型实验在模型实验中如果要模拟所有相似准则，做到模型与原型完全相似几乎是不可能的，只能取部分相似，即近似模型实验，保持模型与原型起主导作用的动力相似原则相等，不考虑影响较小的动力相似准则。例如不可压粘性流体管内流动，粘性力起主导作用，模型实验主要保持𝑅𝑒与原型相等；有自由面的流动，重力起主导作用，模型实验主要保持𝐹𝑟与原型相等。必须注意到，个别情况下在原型下可以忽略的力，在模型中可能对流动有显著影响。如河水流动表面张力的作用可以忽略，但在模型实验中如果铅直尺寸很小，表面张力的作用不可忽略。这种情况下，通常适当增加铅直尺寸，并对实验结果进行修正。例一潜艇水上航速为6.7𝑚/𝑠,水下航速为5.2𝑚/𝑠，为了决定它在水面航行的兴波阻力和在水下航行时的粘性阻力，分别在水池和风洞中进行船模实验。设船模的几何尺寸为实船的1/65,试分别计算船模在水池中的拖曳速度和风洞实验时的风速。设水和空气的运动粘度分别为1.145×10−6𝑚2/𝑠和1.45×10−5𝑚2/𝑠。解:（1）水池实验兴波阻力是由于力受到重力作用而产生的，所以船模实验应保持与实船航行的𝐹𝑟相等。𝑣𝑙𝑔𝑚=𝑣𝑙𝑔已知长度比例系数𝑘𝑙=1/65,𝑔𝑚=𝑔，得𝑣𝑚=𝑘𝑙𝑣=1/65×6.7=0.83𝑚/𝑠（2）风洞实验粘性阻力是由于粘性力产生的，在低速风洞中实验时可不考虑𝑀𝑎，只要求𝑅𝑒相等就可认为船模与实船相似。𝑣𝑙ν𝑚=𝑣𝑙ν𝑣𝑚=𝑣ν𝑚𝑘𝑙ν=5.2×65×1.45×10−51.145×10−6=4280𝑚/𝑠风洞实验不可能达到这样高的风速，单靠加大风速来满足相似是困难的。根据经验，常采用在足够大的𝑅𝑒的条件下进行实验，将实验结果延伸的办法。这样还能较精确的估算出对应原型的𝑅𝑒的粘性阻力系数。