1-3标量函数的梯度

1–3标量函数的梯度第一章矢量分析一标量场的等值面一个标量场可用一个标量函数来表示。直角坐标系中，标量函数可表示为u,,uuxyz方程随着的取值不同，给出一组曲面.这样的曲面称为标量场的等值面.,,uxyzC（为任意常数）称为等值面方程.如果某一标量物理函数是两个坐标变量的函数，这样的场称为平面标量场.Cu,,uxyzCC,xyC称为等值线方程.1–3标量函数的梯度第一章矢量分析例1设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空间的任一点的电位是2220,,4qxyzxyz式中和是常数.试求等电位面方程.q,,Mxyzq0解根据等值面的定义，令（常数）即得到等电位面方程,,xyzC22204qCxyz222204qxyzC这是一个球面方程.或解根据等值面的定义，令（常数）即得到等电位面方程1–3标量函数的梯度第一章矢量分析二方向导数000limlMuMuMull0Mul定义就称为函数在点沿方向的方向导数.,,uxyz0Ml物理意义方向导数是函数在给定点沿某一方向对距离的变化率.在直角坐标系中，就是函数沿三个坐标轴方向的方向导数.,,uxyz,,uuuxyz0000,,Mxyz为标量场中的一点，从点出发朝任一方向引一条射线并在该方向上靠近点取一动点，点到点的距离表示为.,,uxyz0M000,,Mxxyyzz0MMll0Mu1–3标量函数的梯度第一章矢量分析根据多元函数的全增量的关系，有0000MMMuuMuMuuuxyzlxyz00000limcoscoscoslMMMuMuMluuuxyz222lxyzcos,cos,cosxlylzlcos,cos,cos直角坐标系中l式中是的方向余弦.coscoscosuuuulxyz0l0结论直角坐标系中任意点上沿方向的方向导数的表达式l1–3标量函数的梯度第一章矢量分析例2求函数在点沿方向的方向导数.222uxyz1,0,1M22xyzleee解222uxxxyz222uyyxyz222uzzxyz1,0,1M12ux0uy12uz22211cos31222cos32cos301121210333222Mul1–3标量函数的梯度第一章矢量分析三梯度1.梯度的定义coscoscoslxyzeeeexyzuuuGeeexyzcos,lluGeGGel定义标量场在点处的梯度是一个矢量，记作,,uxyzMuGMcoscoscosuuuulxyz它的大小等于场在点所有方向导数中的最大值，它的方向等于取到这个最大值所沿的那个方向.grad1–3标量函数的梯度第一章矢量分析2.梯度的性质（一）一个标量函数的梯度是一个矢量函数.（二）函数在给定点沿任意方向的方向导数等于函数的梯度在方向上的投影.ulul（三）在任一点，标量场的梯度垂直于过该点的等值面.M,,uxyzMgradgradnueu单位法线矢量1–3标量函数的梯度第一章矢量分析3.哈密顿（Hamilton）算子xyzeeexyz()xyzxyzuuuueeeueeexyzxyz在直角坐标系中graduu1zeeez11sinreeerrr1–3标量函数的梯度第一章矢量分析4.梯度运算基本公式0CCuCuuvuvuvvuuv21uvuuvvvfufuu1–3标量函数的梯度第一章矢量分析例3试证明,表示空间点和点之间的距离。符号表示对微分，即222Rxxyyzz11RRR,,xyz,,xyz,,xyzxyzeeexyz解1–3标量函数的梯度第一章矢量分析31R2ReRRR122221122222222122221xyzxxyyzzRxxyyzzexxyyzzexyxxyyzzez'31R2ReRRR'11RR所以所以