浙教版九年级数学上册课件：期末复习四-相似三角形

期末复习四相似三角形要求知识与方法了解线段的比，成比例的线段的概念黄金分割通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似理解比例的基本性质，会进行简单的比例式变形运用会进行有关黄金分割的简单计算相似三角形的性质与判定，能进行简单应用利用图形的相似解应用题，学会数学建模、并解答比例线段例1(1)已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是()A.x＋yy＝72B.x－yy＝32C.xx＋y＝57D.xy－x＝53D(2)已知a＝1，b＝5－12，c＝3－52，那么()A．a是b、c的比例中项B．c是a、b的比例中项C．b是a、c的比例中项D．以上都不对(3)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cmCA反思：(1)运用比例的性质，要用多种方法解答.(2)利用了比例中项的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．(3)理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段．平行线分线段成比例定理例2(1)如图，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CN＝1.8，则CD＝________；4.57.5反思：在运用平行线分线段成比例定理时，要注意弄清三条平行线截两条直线，所得哪条线段与哪条线段是对应线段，同时要根据需要写出正确的比例式．(2)如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，EC＝3，BD＝3，则BF＝________．相似三角形的判定例3下列条件中，不能判断△ABC和△A1B1C1相似的是()A．∠C＝∠C1＝90°，∠B＝∠A1＝50°B．AB＝AC，A1B1＝A1C1，∠B＝∠B1C.ABA1B1＝BCB1C1，∠A＝∠A1D．∠A＝∠A1＝90°，BCAB＝B1C1A1B1C反思：判定两个三角形相似共有四种方法，两边对应成比例，一边的对角对应相等的两三角形不一定相似．相似三角形的性质例4(随州中考)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BDAD的值为()A．1B.22C.2－1D.2＋1C反思：对应角相等，对应边成比例是相似三角形的本质属性．相似三角形的对应高之比，对应中线之比，对应角平分线之比，周长之比都等于相似比．相似三角形面积之比等于相似比的平方．例5如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝________cm.三角形的重心2反思：三角形的重心是三条中线的交点，它到中点距离与对边顶点的距离之比为1∶2.相似三角形的应用例5(武汉中考)已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.①求EFAK的值；答案：(1)①∵EF∥BC，∴AKAD＝EFBC，∴EFAK＝BCAD＝128＝32，即EFAK的值是32；②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵EFAK＝32，∴EF＝32(8－x)，∴S＝EH·EF＝32x(8－x)＝－32(x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，8－aa＝812，解得a＝245.②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2＝6，∴AB＝AC＝AD2＋BD2＝62＋82＝10，∴AB或AC边上的高等于：AD·BC÷AB＝8×12÷10＝485，∴485－aa＝48510，解得a＝24049.综上，可得正方形PQMN的边长是245或24049.反思：会设计利用相似三角形解决问题的方案；会构造(画)与实物相似的三角形；会运用相似三角形的判定、性质进行计算．解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．圆中的相似图形例6(柳州中考)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D.(1)求证：△ABE∽△ADC；答案：(1)∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABC＝∠ADC，∴△ABE∽△ADC；(2)请连结BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．(2)∵∠BAD＝∠CAD，∴BD︵＝CD︵，∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB＝BD，OC＝CD，∵OB＝OC，∴OB＝BD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形．反思：证明圆中图形的相似问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的定理、圆周角定理及逆定理进行角度转换．考点八利用相似三角形解决探究性问题例7如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．(1)求证：△ABE∽△ECM；答案：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM；(2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1，当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC＝ACCB，∴CE＝AC2CB＝256，∴BE＝6－256＝116.∴BE＝1或116；(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积．(3)设BE＝x，又∵△ABE∽△ECM，∴CMBE＝CEAB，即：CMx＝6－x5，∴CM＝－x25＋65x＝－15(x－3)2＋95，∴AM＝5－CM＝15(x－3)2＋165，∴当x＝3时，AM最短为165，又∵当BE＝x＝3＝12BC时，点E为BC的中点，且AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE＝AB2－BE2＝4，此时，EF⊥AC，∴EM＝CE2－CM2＝125，S△AEM＝12×165×125＝9625.反思：此题利用相似三角形的判定与性质、二次函数的最值来探究问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．