第三章量子力学中的对称性和角动量

1量子力学中的对称性和角动量§3.1引言从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。经典力学中，Hamiltonian决定了体系的运动规律，看H是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。0,Hu,HuHutudtdu不显含时间，则和如--表示u是一个运动常数。量子力学中，运动方程为HFdtdFi,，其中力学量为算符0,HF--二者具有共同的本征函数。Wigner-Weyl实现：态的对称性直接反映了H的对称性。§3.2转动态的定义和转动算符§3.2A转动态的定义在经典物理中，转动后坐标的变化为pRprRr,',,'如果n为z轴，转动角为，则zzyxyyxxppzzpppyxypppyxx',',cossin',cossin',sincos',sincos'-------zyxzyx1000cossin0sincos'''在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数r，将它绕空间n轴（z轴）转动一个角度，此操作为作用在波函数上的算符,nR，则rrnR',。转动态的定义：.'',RrrightRrrRleft所以，---转动态。物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例子说明），则可称之为转动态。在坐标系中，r为标量函数，存在rr''2和rRrRrr1','。现在，证明上式满足转动态的要求。转动前，平均位置rxrdrxx*转动后，平均位置sincossincos''''''''ˆ''***yxryxrdrrxrdrrxrdrxx3.2B算符的转动令,nR为转动算符。rRrrnR1',，转动前后，物理上要求几率守恒，即保持态归一化：RRRRˆˆ''1，则1ˆˆRR。即转动算符R为幺正算符，转动变换是一个幺正变换。物理过程：转动前后平均值不变。任一算符F的平均值为：.ˆ'ˆ''ˆ''ˆ'ˆˆˆRFRFFRFRRRFRRRRFRRFF转动后，新算符量子力学中，可观察量的转动。sinˆcosˆ'ˆyxx即变换使坐标转过角度，同时使体系的可观察量转过角度为。3.2C态的无限小转动---求转动算符的具体形式态的无限小转动，绕z周的转角为无限小，则yxyyxx','（1）自旋为0的粒子波函数，yxxyiLzyxLizyxyxxyiizyxyxxyzyxzxyyxrRrzzˆz,,ˆ1,,1,,,,,,'1，方向的轨道角动量算符定义推广到任意轴n的微小转动，有.ˆ1,ˆˆ1'nLinRrnLir无穷小转动算符为，32009-10-14上课内容（2）自旋为1/2的粒子的波函数。此时，波函数为二分量，记10,012121，则体系波函数为，21221121211001rrrrrrr。绕z轴转动，证明波函数为rRirz121'。物理过程：在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系，即yxx'ˆ'212211'''''rrr，当转动角度无限小时，把自旋的变化等同于位置的变化规律，则自旋的三个方向的分量为zzyxzyxSiii100000101000000001000101''''此处，定义0000000iiSz从上面的讨论可知，轨道部分波函数变为，rnLirˆ1'，则总波函数为丢掉二阶项。rSLirSiLirrrzzzz111'''''212211则任意轴无限小角度转动算符，nSLinR1,，其中粒子的总角动量算符可以写为SLJ3.2D态的有限角度转动绕n轴无限小角度转动算符为nJinR1,，4其中0mm。绕n轴转过有限角度，nJinJminJminRnRmmmmmmexpexplim1lim,lim,三维空间中的有限转动，,,。RRRR3.3角动量的一般性质角动量算符的三个分量zyxjjj,,，满足下列对易关系：zyxjijj,定义角动量平方算符为2222zyxjjjJ定义角动量的升降算符，zyxyxxyyxyxyxyxjjjjjjjijjijjijjjjijjj2222证明对易关系：zzijjjjjjjj2,,,,0,2因为，0,2zjj，二者的共同本征态为jm，有jmjjmjjmjjjmjz,122证明升降算符的物理意义。1111.1jmjmjjmjmjmjjjmjmjjmjmjmjjmjjmjzzz的本征态，本征值为的意义：为jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjzzzzzzzyx222222222210？的本征值222222100lljjjljjjjljljjjljljjjljljjzz反方向作用，用由此可得，jl。5,...23,1,21,0,...3,2,1,02,,,jnnjnljjljjjjln个。共，对于每一个固定的12,,1,...1,mjjjjjj证明：111jmmmjjjmj111111222222jmmmjjjmjcmmjjjmjjjjmjmjjjmjmcjmjzz2009年10月16日星期五上课为什么重要的是2j？标记任意转动下的态，要用2j的本征态。因为0,2Rj，任意转动算符R可以用zyxjjj,,组合而成，所以只要0,2xjj。[证明过程]：因为0,,0,0,,,,,,,,22222222yxyxxyxyyxyzyzyyxzxzxxzyzxzzyxzjjjjjjjjijjjjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以，0,2Rj。将2j的本征态标记为jjjjj2,，经转动R后，转动态为jR。jR的物理意义：jRjRjjRjj22。表明，转动态的全体jR形成一个不变子空间。该子空间用本征值j标记。转动时，态只能在子空间内变化，其中任何态不会因为转动带到子空间之外。算符2j的重要意义：将态空间按其本征值j自动地分解为转动不变子空间。则关于转动时态的变化问题，就只需在各个不变子空间中加以讨论。转动子空间为2j的简并空间，还需一个算符0,,2zzjjj（好量子数）才能解除简并。记为jmmjmjjmjmjjmzj,,2。[证明]：从前面的内容可知，21jjj。利用升降算符yxijjj，则jjjjjjjjjzzzz222。6现设jm为zjj,2的共同本征态，则jmmjmjjmjmjzj,2。且0,2jj则jmjmjmjjjjmjjmjjmjjjmjjzj1,22。从本征态jm出发，得到zjj,2的一系列本征态：,...2,1,,1,2...,,...,,,,...,22mmmmmjmjjmjjmjmjjmj---必有上限和下限。计算平均值，22222222mmjmjjmjmjjmjmjjmjyx现令，0,0minmaxjmjjmjmin2maxminmin2min2max2maxmaxmax2max211jmmmjmjjjjjmjjmmmjmjjjjjmjzzzz因为j不改变2j的本征值，所以11minminmaxmaxmmmm。则1,minmaxminmaxmmmm。因为minmaxmm，所以jmmminmax。jmmjmax22。因为zj是角动量算符z方向上的投影，所以m的最大值jmmax以上可知，21jjj。表明，对于同一个j，张成2j的12j维简并空间。§3.7对称性和守恒律3.7A可观察量和不可观察量有限转动算符Rˆ是幺正算符，不对应于可观察量。但它的无限小生成元（角动量算符Jˆ）为可观察量。zJizJieRz1ˆ态在在旋转zRˆ作用下不变，即它具有绕z轴的旋转对称性，izeRˆ。[旋转不变]：1ieizzeJiRˆexpˆ。旋转前后相差一个相因子，不影响波函数的物理7结果。起点：0终点：izeJiˆ2exp2若，miJimJezzi2expˆ2expˆ1上式中，12ie要求m为整数若，miJimJezzi2expˆ2expˆ1上式中，,211meim为半整数。2009-10-21上课内容[从特殊到一般]：体系在某个变换Qˆ下具有对称性，即Q'(1)保持几率不变，QQ''，11QQQQ，说明Q是一个幺正算符。(2)保持运动规律不变，'ˆ'Hti，设Q不显含时间，则QHtQiQHHtQiQtitiˆˆ'ˆ'和HQQtiHQtQiHtiˆˆˆ可得体系在Q变换下保持不变性的条件为，0,HQQHHQ。考虑无限小变换，FiQˆ