数项级数收敛性判别法

返回上页下页目录2020年12月18日星期五1第二节数项级数收敛性判别法第七章（Interrogateofconstanttermseries）一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结与思考练习返回上页下页目录2020年12月18日星期五2一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理1正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)返回上页下页目录2020年12月18日星期五3定理2设1nnu和1nnv都是正项级数，且nnvu，(1)如果级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；(2)如果级数1nnu发散，则级数1nnv也发散．推论设1nnu和1nnv都是正项级数，且存在自然数N，使当Nn时有(0)nnukvk，(1)如果1nnv收敛，则1nnu也收敛；(2)如果1nnu发散，则1nnv也发散．返回上页下页目录2020年12月18日星期五4例1证明级数231111,(0)2222nkkkkk是收敛的．证因为11022nnk，而级数121nn是收敛的．根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的．返回上页下页目录2020年12月18日星期五5pppn131211(常数p0)的敛散性.解:1)若,1p因为对一切而调和级数11nn由比较审敛法可知p级数n1发散.发散,例2讨论p级数返回上页下页目录2020年12月18日星期五6因为当故nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若返回上页下页目录2020年12月18日星期五7因为2110(1)(4)nnn，而级数121nn是2p的p级数，它是收敛的．所以级数1)4)(1(1nnn也是收敛的．例3判别级数1)4)(1(1nnn的敛散性．解返回上页下页目录2020年12月18日星期五8则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,定理3(比较审敛法的极限形式)返回上页下页目录2020年12月18日星期五9因为111sinlimnnn．而级数11nn是发散的，根据比较审敛法的极限形式知，级数11sinnn发散．例5判别级数11sinnn的敛散性．解返回上页下页目录2020年12月18日星期五10例6判别下列级数的敛散性：（1）3132nnnn；（2）1111nnn；（3）111ln1nnn；（4）21ennn．解：（1）因为323323312limlim122nnnnnnnnnn，而211nn收敛，所以级数3132nnnn收敛．（2）因为1111limlim11nnnnnnn，又级数11nn发散，返回上页下页目录2020年12月18日星期五11所以级数1111nnn发散．（3）因为32111ln1ln1limlim111nnnnnnn，而级数3121nn收敛，所以级数111ln1nnn收敛．（4）因为242elimlim01ennnnnnn，而级数211nn收敛，所以级数21ennn收敛．返回上页下页目录2020年12月18日星期五12说明：判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和发散级数，则可以以它们为标准进行比较．常用于比较的级数有p级数、等比级数与调和级数，因此必须记住它们．另一方面，由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性，但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给定的级数自身直接判别级数的敛散性？为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和根值审敛法．返回上页下页目录2020年12月18日星期五13设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知定理4比值审敛法(D’Alembert判别法)返回上页下页目录2020年12月18日星期五14,1时或,0,NuZN必存在,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn当时nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.从而(2)当返回上页下页目录2020年12月18日星期五15例6判别级数2222231232222nn的敛散性．解：（1）令22nnnu，则22112(1)112limlimlim22nnnnnnnnunnun112，根据比值审敛法知，原级数是收敛的．例7判别级数2132nnnn的敛散性．提示：解法与例6完全类似！返回上页下页目录2020年12月18日星期五16例8判别级数1111123456(21)2nn的敛散性.解：令1(21)2nunn，则1limnnnuu(21)2lim1(21)(22)nnnnn，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2nnn，而级数211nn收敛，所以级数11(21)2nnn收敛．返回上页下页目录2020年12月18日星期五17对任意给定的正数,limnnnu设为正项级,limnnnu则证明提示:,ZN存在nnu即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.1111数,且定理5根值审敛法(Cauchy判别法)返回上页下页目录2020年12月18日星期五18时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n但,1p级数收敛;,1p级数发散.说明:返回上页下页目录2020年12月18日星期五19例9判别级数1231nnnn的敛散性．解：因为22limlim1313nnnnnun，所以由根值审敛法可知级数1231nnnn收敛．例10判别级数ln123nnn的敛散性．（补充）解：因为ln23nnnnnuln23nn，而当n时，lnnn的极限为0，所以limnnnuln2lim3nnn21，因此所给级数发散．返回上页下页目录2020年12月18日星期五20二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足(Interrogateofstaggeredseries)返回上页下页目录2020年12月18日星期五21证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故返回上页下页目录2020年12月18日星期五22收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nnnnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:返回上页下页目录2020年12月18日星期五23三、绝对收敛与条件收敛定义对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn1110)1(nnnn收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.(Absoluteconvergenceandconditionalconvergence)返回上页下页目录2020年12月18日星期五24证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理7绝对收敛的级数一定收敛.返回上页下页目录2020年12月18日星期五252211sin(1);(2)(1).nnnnnnne证:(1)22sin1,nnn而211nn收敛,21sinnnn收敛因此21sinnnn绝对收敛.例11证明下列级数绝对收敛:（补充题）返回上页下页目录2020年12月18日星期五26(2)令nnnuu1limlimn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.返回上页下页目录2020年12月18日星期五27例12判别级数1npnxn的敛散性，若收敛，讨论其是绝对收敛还是条件收敛？解：对级数11||nnppnnxxnn，由||lim||nnpnxxn知，当||1x时，p为任意实数，级数收敛（绝对收敛）；当||1x时，p为任意实数，级数发散；当1x时，(1)1p时，级数收敛（绝对收敛）；(2)1p时，级数发散；当1x时，(1)1p时，级数收敛（绝对收敛）；(2)01p时，级数收敛（条件收敛）；(3)0p时，级数发散．返回上页下页目录2020年12月18日星期五28其和分别为*定理8绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.说明:条件收敛级数不具有这两条性质.返回上页下页目录2020年12月18日星期五29内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限返回上页下页目录2020年12月18日星期五30为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛3.任意项级数审敛法返回上页下页目录2020年12月18日星期五31课外练习习题7－21-8思考练习1、设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.返回上页下页目录2020年12月18日星期五32则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C2.