Copula理论简介

Copula理论简介引言•国际金融市场快速发展——市场间相互依存性加强。金融创新不断涌现——金融风险越发集中和隐蔽。•相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，资产定价、投资组合、波动的传导和溢出、风险管理等问题都涉及相关性分析。而常用的线性相关系数有具有一定的局限性。如它要求变量间是线性的，且方差存在，但是金融市场中出现的不少数据往往是厚尾分布，它们的方差有时并不存在。•金融波动和危机的频繁出现使风险度量和多变量金融时间序列分析成为国内外关注的焦点，原有的多变量金融模型已不能完全满足发展的需要。如用Var来度量风险时须具备一定的条件，它在非椭圆分布时就不可用。主要内容常用的Copula函数Copula函数的定义1Copula函数的相关测度23Copula模型的构建45Copula模型的参数估计1.Copula函数的定义★什么是Copula函数？形象地说，我们可以把Copula函数叫做“连接函数”或“相依函数”，它是把多个随机变量的联合分布与它们各自的边缘分布相连接起来的函数。nnnxFxFxFCxxxF,,,,,,221121多元联合分布函数边缘分布Copula函数1.Copula函数的定义★Sklar定理令为具有边缘分布的联合分布函数，那么存在一个Copula函数，满足：,,FnFFF,,,21,,CnnnxFxFxFCxxxF,,,,,,221121若连续，则唯一确定。nFFF,,,21,,C2.相关性测度•2.1.提出问题•2.2.基于Copula函数的相关性测度•2.3.尾部相关性2.1.关于相关系数★一个问题我们知道，对于两个变量之间的相关性关系，我们可以利用相关系数来度量，但是，我们看下面的问题：若（x，y显然关系密切）则即x，y的相关系数为0。因此，当变量间的关系是非线性时，用相关系数来度量其关系是不可靠的。而Copula函数在一定的范围内就可以避免这个问题。2,1,0~xyNx0,23xExExEyExExyEyxCov2.2.基于Copula函数的相关性测度★定理对随机变量做严格的单调增变换，相应的Copula函数不变。nxxx,,,21①Kendall秩相关系数τ②Spearman秩相关系数ρ③Gini关联系数γ2.2.基于Copula函数的相关性测度11,yx22,yx①Kendall秩相关系数τ考察两个变量的相关性时，最直观的方法是考察它们的变化趋势是否一致。若一致，表明变量间存在正相关；若不一致，表明变量间是负相关的。令和为随机向量(X,Y)的两组观测值，如果且，或者且,即，则称和是一致的，反之，即，则为不一致。21xx21yy21xx21yy02121yyxx11,yx22,yx02121yyxx2.2.基于Copula函数的相关性测度◆定义：和为独立同分的随机向量，0021212121yyxxPyyxxP1，完全正相关；，完全负相关；，无法判定。10◆可以看到，对于单调增函数s(x)和t(y)，有0021212121yyxxytytxsxs因此τ值对单调增的变换是不变的。◆Kendall秩相关系数可以由Copula函数给出（证明略）：1,,41010vudCvuC11,yx22,yx2.2.基于Copula函数的相关性测度②Spearman秩相关系数ρ◆定义：和为独立同分布的随机向量，则2211,,,yxyx33,yx00331213121yyxxPyyxxP◆Sperman秩相关系数对严格单调增的变换也是不变的，由相应的Copula函数来表示如下：101010103,123,12duvvuCvuuvdC2.2.基于Copula函数的相关性测度③Gini关联系数γτ和ρ只考虑了随机变量变化方向的一致性和不一致性，而Gini关联系数则更细致地考虑了随机变量变化顺序的一致性和不一致性。设随机变量(X,Y)的n个样本为，将按从小到大顺序排列后，的名次称为它的秩，同样在中的名次（秩）记为。如果x，y的变化是一致的，就应该很小，所以反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么与应处于两端，位于位置时，应位于倒数第的位置上，即第的位置上，因此，就应该很小，而就反映了相反变化的不一致程度。nnyxyxyx,,,,,,2211nxxx,,,21ixiriynyyy,,,21isiisrniiisr1irisixirisirirn1iirns1niiinsr112.2.基于Copula函数的相关性测度◆定义：令为随机变量X,Y的样本，i=1,2,...,n的秩，则iisr,iiyx,niiiniiisrnsrn11212int1◆Gini系数可以扩展到无限样本的情形，并有相应的Copula函数给出：vudCvuvu,1210102.3.尾部相关性◆在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相关性，这一特性用Copula函数来处理十分方便。考虑条件概率，它可以用来讨论金融市场之间或金融市场中各类资产之间的相关性。◆当x,y趋于无穷大或足够大时，即反映了随机变量X与Y的尾部相关性。xXyYP|xXyYP|2.3.尾部相关性◆定义：(上尾相关与独立、下尾相关与独立)令为连续随机变量的向量，边缘分布分别为F,G，则的上尾相关系数为',YX',YXUuuFXuGYP111|lim若，X,Y称为上尾相关；若，X,Y称为上尾独立。1,0U0ULuuFXuGYP110|lim下尾相关系数为若，X,Y称为下尾相关；若，X,Y称为下尾独立。1,0L0L2.3.尾部相关性由于同样可证因此，基于Copula函数的尾部相关性可以表示为uuuCuFXPuFXuGYPuFXuGYP,,|11111uuuCuuFXuGYP1,21|11uuuCuuU1,21lim1uuuCuL,lim0相关性测度总结1,,41010vudCvuC101010103,123,12duvvuCvuuvdCvudCvuvu,121010uuuCuuU1,21lim1uuuCuL,lim0◆Kendall秩相关系数τ◆Spearman秩相关系数ρ◆Gini关联系数γ◆上尾相关系数◆下尾相关系数3.常用的Copula函数•3.1.二元正态Copula函数•3.2.二元t-Copula函数•3.3.二元阿基米德Copula函数3.1.二元正态Copula函数uvdrdsrssrvuC112222122exp121;,2exp122exp11;,212121121212vuvuvuvuc3.2.二元t-Copula函数uTvTdsdtsttsvuC11222222121121,;,22221222212221221112121222,;,iivuc3.3二元阿基米德Copula函数◆阿基米德分布函数的定义:nnuuuuuuC21121,,,其中称为阿基米德Copula函数的生成元，它是一个凸的减函数。◆常用的二元阿基米德Copula函数：①GumbelCopula函数②ClaytonCopula函数③FrankCopula函数3.3二元阿基米德Copula函数①GumbelCopula函数11lnlnexp;,vuvuCG11lnlnlnlnlnln;,;,1121111vuvuuvvuvuCvucGG生成元1lnt1G22GU0GL3.3二元阿基米德Copula函数上尾部变化十分敏感3.3二元阿基米德Copula函数②ClaytonCopula函数11;,vuvuCcl12111;,vuuvvuccl生成元1t0CU2C12CL3.3二元阿基米德Copula函数下尾部变化十分敏感3.3二元阿基米德Copula函数③FrankCopula函数1111ln1;,eeevuCvuF21111;,vuvuFeeeeevuc生成元11lneet111410dtettF0FU0FL3.3二元阿基米德Copula函数描述对称相关结构，上尾下尾相关性变化都不敏感4.Copula模型的构建★两阶段法：1.确定边缘分布；2.选取一个适当的Copula函数，以便能很好地描述出随机变量之间的相关结构。4.Copula模型的构建★选择适当的Copula函数1.看这种Copula函数的特征是否与现实金融市场指数的收益率之间的相关性符合。2.看这种Copula函数在实际应用中的可操作性。3.看这种Copula函数所模拟结果与实际符合的程度。★边缘分布的选择:自回归模型常用的单变量时间序列模型时间序列模型波动模型ARCH类模型（ARCH、GARCH、EGARCH等）随机模型（SV）移动平均模型自回归移动平均模型5.模型的参数估计参数估计：极大似然估计和距估计。iiinicnnnnxfxFxFxFcxxxfθθθθθθ;;;,,;,;;,,,122211121我们不加证明地给出多变量的联合密度函数：这么多参数，怎么办？5.模型的参数估计★两阶段极大似然估计法：