Black-Scholes公式的推导及其求解--复制方法

B-S模型假设：1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r；2、市场上没有交易费用；3、市场的交易可以连续进行；4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；5、证券在期权存续期内无红利发放；6、资产价格服从几何布朗运动模型：ttttdSSdtSdWµσ=+其中，W是标准布朗运动，µ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。复制方法：卖期权的机构拿到期权金C0后,需要把这个资金拿去投资，构造一个自融资投资组合把期权的收益完全复制出来以规避风险，而这一点在一个完备市场中是可以做到的。那么这个自融资投资组合在任何时刻的价值就是期权在该时刻的价值。（自融资投资组合：在整个投资期间,没有中间过程资金的注入和抽出）考虑一个自融资投资组合过程Zt，我们记Yt为投资于股票的资金总量,剩下的资金总量Zt−Yt投资于无风险债券,由于Zt是自融资投资组合，故其动态为：dZt=r(Zt−Yt)dt+dYt=r(Zt−Yt)dt+μYtdt+σYtdWt=[rZt+(μ−r)Yt]dt+σYtdWt.（1）记Zt=C(t,St)，由ˆIto引理得，2222(,)(,)(,)(,)1(,)2ttttttttttttCtSCtSCtSCtSdCtSSdWSSdtSSStσµσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂，（2）比较（1）和（2）得，Yt=StSC∂∂，rZt+(μ−r)Yt=tCSCSSCStt∂∂+∂∂+∂∂222221σµ，于是得到：221(,)(,)(,)(,)02tsssCtSSCtSrSCtSrCtSσ++−=。求解Black-Scholes偏微分方程：要进行多次变化，将Black-Scholes偏微分方程变为热传导方程的形式，然后利用Poisson公式求出Black-Scholes偏微分方程的解。首先作如下换元：Ttτ=−，由此变换公式，推得CCCttτττ∂∂∂∂=⋅=−∂∂∂∂，这样原偏微分方程就变为：2222102(0,)()TTCCCrSSrCSSCSSKστ+∂∂∂−++−=∂∂∂=−（1）；接下来设lnsS=，这样1CCsCSsSSS∂∂∂∂=⋅=⋅∂∂∂∂;222222111()CCCCSSSSSsSs∂∂∂∂∂=⋅=−⋅+⋅∂∂∂∂∂将它们代入方程（1），有22221()022(0,ln)()TTCCCrrCssCSSKσστ+∂∂∂−+−+−=∂∂∂=−（2）；这是一个常系数抛物型方程。现在设2()2vsrστ=+−，uτ=于是有2()2CCuCvCCruvuvστττ∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+−∂∂∂∂∂∂∂；CCuCvCsusvsv∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂；2222()CCCssvv∂∂∂∂==∂∂∂∂；代回到方程（2），有222102(0,ln)()TTCCrCuvCSSKσ+∂∂−+=∂∂=−（3）；最后我们令(,)(,)rvVuveCuv=，于是有(,)ruruCVreVuveuu−−∂∂=−+∂∂；ruCVevv−∂∂=∂∂；2222ruCVevv−∂∂=∂∂；将它们代回到方程（3），有22212(0,ln)()TTVVuvVSSKσ+∂∂=∂∂=−V作为u和v的函数满足的这个方程22212VVuvσ∂∂=∂∂，在数学物理中这个方程被称为热传导方程，因此，利用一维热传导方程的Poisson公式得：22()221(,)()2vuVuveKedvξξσξσπ−−+∞+−∞=−∫=22242222(())2()22ln1()2vuvuuvuuKeKedvξσσσξσσξσπ−+−−−−−+∞−∫；这就是Black-Scholes偏微分方程的解。令lnTvS=，vzuξσ−=，于是有：222222lnlnln1(,)22TuzzvKSKvuuuKVuvedzedzσσσσππ−+∞+∞+−−−−=−∫∫=2212()()vueNdKNdσ+−；其中21lnvKuduσσ−+=，2lnvKduσ−=，uTt=−，2ln()()2vxrTtσ=+−−；最后我们得到期权的价格的解析表达式：(,)(,)ruCtxeVuv−==2ln()()()2(,)xrTtrTteVTteσ+−−−−−=)~(1dxN-)~(2)(dKNetTr−−；其中=1~d=+−KxtT(ln1σ)))(21(2tTr−+σ，+−=KxtTd(ln1~2σ)))(21(2tTr−−σ。风险中性定价方法：风险中性定价原理表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，金融衍生证券的价格与投资者的风险态度无关的。在理想的风险中性世界中，首先，投资者并不要求任何的风险补偿，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率r；其次，正由于不存在任何的风险补偿，市场的贴现率也恰好等于无风险利率r，所以基础证券或衍生证券的经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle），所以现值的风险中性定价方法又称为等价鞅方法（MartingalePricingTechnique）。故+−−−=)((~)(KSeEVTtTrt|Ft)=)(tTre−−+−)((ˆKSET|Ft)，设在客观测度P下，tS的动态为：ttttdSSdtSdWµσ=+，0tT≤≤,由ˆIto公式可得:()ttSdB=111()()ttttttSddSdSdBBB++⋅,于是有()ttSdB=()tttttSSrdtdWBBµσ−+即()tttttdSBrdtdWSBµσσ−=+⋅，令,θσµ=−r,~ttWtW+=θ，从而tttttWdBSBSd~)(σ=由Girsanon定理，令()TAQAZdP=∫,其中2001()2eTTtrrdWdtTZµµσσ−−−−∫∫=，在新测度Q下，tW~是鞅，ttSB在新测度Q下也是鞅。于是tS在等价鞅测度Q下的动态为：ttttttttttttttttWdSdtrSdSWdBSSBrdtBdSWdBSBSd~~~1)(σσσ+=⇒=−⋅⇒=，其解为：tWtrteSS~)21(02σσ+−=，故TWTrTeSS~)21(02σσ+−=于是可以求出0V。0V=rTe−))((ˆ+−KSET=rTe−))((ˆ~)21(02++−−KeSETWTrσσ，令)1,0(~,~NZZTWT=⇒+−KeSZTTrσσ)21(0202ln)21(SKZTTr+−σσ−⇒0(ln1SKTZσ))21(2Trσ−，=⇒0V∫∞∞−−(rTedzeKeSzzTTr2221)21(021)−++−⋅−πσσ∫∞−−−=))21((ln120(TrSKrTeσπσdzeKeSzzTTr2221)21(021)−+−⋅−πσσ21JJ−=令−−=01(ln1SKTdσ))21(2Trσ−=+KST0(ln1σ))21(2Trσ−，=2J∫∞−−1drTKe=⋅−dzez22121π∫∞−−1drTKe=⋅−dzez22121π)(1dKNerT−，=1J∫∞−−10drTSedzeezzTTr2221)21(21−+−⋅πσσ=∫∞−−10drTSedzeTzrTπσ212)(21⋅−−，令,Tzuσ−=+=+=KSTTdd012(ln1σσ))21(2Trσ+，1J=∫∞−−20drTSedueurTπ21221⋅−，∫∞−=20dSdueuπ21221⋅−=)(20dNS，所以，0V=)(20dNS-)(1dKNerT−。注1：Girsanov定理：令(0)tWtT≤≤为概率空间(,,)FPΩ上的布朗运动。设(0)tFtT≤≤为相应的域流，并设()(0)ttTθ≤≤，是与此相适应的过程。对0tT≤≤定义：∫+=tttWduuW0~,)(θ2001exp()()2tttuZudWuduθθ=−−∫∫；并定义一个新的测度，对任意AF∈，定义()TAPAZdP=∫；则在新测度下P下，过程)0(~TtWt≤≤仍是布朗运动。注2：Feynman-Kac定理：考虑随机微分方程udX=(,)(,)uuuuXduuXdWαβ+.设()hy是Borel可测函数。固定0T并给定[]0,tT∈。定义函数,(,)()txTgtxEhX=，则(,)gtx满足偏微分方程21(,)(,)(,)(,)(,)02txxxgtxtxgtxtxgtxαβ++=.而终点条件为(,)()gTxhx=。由于tS在风险中性测度Q下的动态为ttttWdSdtrSdS~σ+=，令(,)gtS=(,)rteCtS−=((,))QrTtEeCtSF−由Feynman-Kac定理知(,)gtS满足：2222102(,)rTTTgggrSStSSgTSeCσ−∂∂∂++=∂∂∂=,而(,)gtS=(,)rteCtS−，故(,)(,)rtrttgreCtSeCtSt−−∂=−+∂；(,)rtSgeCtSS−∂=∂；22(,)rtSSgeCtSS−∂=∂.代入方程2222102gggrSStSSσ∂∂∂++=∂∂∂，有221(,)(,)(,)(,)02tSSSCtSrSCtSSCtSrCtSσ++−=，这正是Black-Scholes方程。12、Girsanov定理：令(0)tWtT≤≤为概率空间(,,)FPΩ上的布朗运动，(0)tFtT≤≤为相应的域流，()(0)ttTθ≤≤是与此相适应的过程。对0tT≤≤定义：∫+=tttWduuW0~,)(θ2001exp()()2tttuZudWuduθθ=−−∫∫；并定义一个新的测度，对任意AF∈，定义()TAPAZdP=∫，则在新测度下P下，过程)0(~TtWt≤≤仍是布朗运动。13、Feynman-Kac定理：考虑随机微分方程udX=(,)(,)uuuuXduuXdWαβ+，设()hy是Borel可测函数。固定0T并给定[]0,tT∈。定义函数g(t,x)=𝐸(h(XT)|Xt=x)，则(,)gtx满足偏微分方程21(,)(,)(,)(,)(,)02txxxgtxtxgtxtxgtxαβ++=.而终点条件为(,)()gTxhx=。