圆的基本性质(九年级上)

ABOP圆的基本性质概念在同一平面内，线段OP绕它的一个固定端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，记作“⊙O”，读做“圆O”。OP4弧圆心定点O由圆引出的概念321半径弦线段OP连接圆上任意两点的线段直径经过圆心的弦圆上任意两点间的部分半圆圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧劣弧小于半圆的弧，记作𝐴𝐵优弧大于半圆的弧，记作𝐴𝐶𝐵5等圆半径相等的两个圆相等的弧能够重合的圆弧ABC点与圆rOd＜r，则点在圆内d=r，则点在圆上d＞r，则点在圆外点与圆的位置关系P”P’P不在同一直线上的三个点确定一个圆三角形的外接圆圆的内接三角形Or三角形的外心三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆三角形的外心：这个外接圆的圆心，是三角形三条垂直平分线的交点图形的旋转经过旋转所得的图形和原图形全等对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的弧。OABCDE已知条件：O为圆心，CE为过O的直径，CE⊥AB结论：1、AD=BD，𝐴𝐸=𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐵𝐶2、𝐴𝐸=𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐵𝐶（E为𝐴𝐵的中点，D为𝐴𝐶𝐵的中点）r弦心距：圆心到圆的一条弦的距离（OD的长是弦AB的弦心距）定理1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。定理2平分弧的直径垂直平分弧所对应的弦两条定理据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧。上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论。圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弧相等，所对的弦也相等。圆心角定理推理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。OABCMNR∠AOB=∠MONOC=OR𝐴𝐵=𝑀𝑁AB=MN∠AOB与∠MON是圆心角OC与OR是所对应的弦心距𝐴𝐵与𝑀𝑁是所对应的弧AB和MN是所对应的弦任一对相等，另外三对也相等圆周角圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。圆周角圆心角OABC∠AOB=2∠ACB圆周角定理推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等ABC圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。OABCD圆内接四边形的对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）任意一个正多边形都有一个外接圆弧长与扇形面积弓形面积公式：S弓形=S扇形±S△弧长公式：l=nπ𝑅180扇形面积公式：S=nπ𝑅2360=12lRn°l弓形题1：如图，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以点C为圆心，CA为半径画弧交AB于D，求AD的长。CDABM【分析】首先需要搞明白AD是圆的弦，且已知条件中有直角三角形存在。所以应首先考虑弦心距。解：作CM⊥AB，则有AM=12AD∵AC=6cm，BC=8cm，∠ACB=90°∴AB=10cm（勾股定理）∵S△ABC=12AB·CM=12AC·BC∴CM=245∴AM=185（射影定理AC2=AM·AB）∴AD=2AM=7.2cm圆中涉及半径、弦、弦心距的有关计算，往往作弦心距构造Rt△，利用勾股定理求解。1、射影定理的线段选择易错点1、弦长的计算2、射影定理3、直角三角形构造考点题2：已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B，C两点，点D是⊙A上一点，直线BD与⊙O相交于点E。1）如图1，当点D在⊙O外时，试判断△CED的形状，并证明你所得结论；2）如图2，当点D在⊙O内时，上述结论是偶还能成立？并说明理由。BCDAEBCDAED’【分析】点D是一个动点，要判断△CED的形状，可以让D点在⊙A上转动，并在特殊位置进行观察。OO图1即，我们将BD绕B点旋转，使D落在⊙O的外面。此时，当BD经过A时，为特殊位置。因为A为圆心，所以AC=AD’，则△CED为等腰三角形1）证明：连接BA，交⊙A于点D’，并连结CD’、AC∵∠CEB=∠CAB（等弧的圆周角相同）∴∠CED=∠CAD’∵∠D=∠D’∴∠ECD=∠ACD’∴△ACD’∽△ECD∵AC=AD’∴CE=DE∴△CED是等腰三角形。2）与1）类似，找出特殊位置。添加与1）一样的辅助线D’∠CAB+∠E=180°，∠CDB+∠D’=180°（为什么）∴∠E=∠CAD’，∠EDC=∠D’∴△ACD’∽△ECD从而，可得到ED=EC，△CED是等腰三角形。1、圆周角定理2、圆内接四边形中角的关系3、图形的运动思想的运用4、从特殊位置找到结论，再进行推理的解题技巧考点解法二：∠CED=∠CAB=2∠D’∠CED=∠D+∠DCE∠D=∠D’∴∠D=∠DCE题3：如图，已知M为𝐴𝑀𝐵的中点，以AM为直径的半圆交AB于N，D为𝐴𝑀𝐵上任一点，连结AD交𝑀𝑁于C。求证：AC=CD+DBMABNCDE【分析】一条线段与另两条线段的长度和做比较，应把两条线段之和建构成等效的一条线段。或者在一条线段上截取与另两条中的一条相等的线段。即做“图形重建”。由已知条件可知，N是中点，若建构CN是三角形的中位线，则C也是三角形上一边的中点。证明：并延长AD于E，使DE=DB，连接CN、BE、MB∵AM是半圆的直径∴MN⊥AN∵M是𝐴𝑀𝐵的中点∴AM=BM∴AN=BN证N为中点∵DE=DB∴∠E=∠DBE∴∠ADB=2∠E∵∠ADB=∠AMB=2∠AMN∠AMN=∠ACN∴∠CAN=∠E∴CN∥BE证C为中点∴AC=CE=CD+DE（中位线定理）1、圆心角与圆周角定理2、弦长、弧长与对应角间的关系考点题4：如图，已知△ABC的垂足三角形为△DEF，O为△ABC的外心，求证：OA⊥EFABCEDFO外心：三角形三条边的垂直平方线的交点，三角形外接圆的圆心。∙【分析】OA是半径，要证明EF⊥OA，只要证明EF平行于OA的切线即可。证明：作AM⊥OA，垂直为A由题意，得：∠BFC=∠CEB=90°∴B、C、F、E四点共圆∴∠AEF=∠ACB∵∠MAB=∠ACB（为什么）∴∠MAB=∠AEF∴EF//MAM∴OA⊥EF1、圆的直径、半径和切线之间的关系。2、切线与弦夹角等于对应圆周角考点半径或直径与圆内的某条直线垂直，可以转化为与切线的垂直。∵∠1+∠4=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3∵∠2=∠3，2∠B=∠2+∠3∴∠3=∠B∴∠1=∠BAO1C23B4题5：如图，OQ⊥AB，求证：OA2=OP·OQABCFOQPOA2=OP·OQ转换成比例关系OAOP=OQOA是否有对应三角形有：△OAQ∽△OPA∠AOQ=∠POA（成立）待证：∠1=∠Q123∠AOF=∠3（圆周/心角）∠2=∠BPF=∠QPC∠AOF=∠1+∠2∠3=∠Q+∠QPC∵OQ⊥AB∴OQ垂直平分AB题目给定的唯一条件是OQ垂直AB，而在圆中，过圆心的弦所对应的角是直角，所以可以构建一条直径，来找圆中角的关系。D∵CD过圆心O，∴∠CAD=90°∵∠B=∠D（同圆共弧）∴∠OCA=∠BPF∵∠OCA=∠OAC∠2=∠BPF∴∠2=∠OAC(使两△相似的条件）下面从相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。)试试。ABCFOQPEG12∵∠1=12𝐴𝐵=∠2∴∠QCP=∠POB∴△QCP∽△BOP∴PC∙PB=PQ∙OP∵PC∙PB=PG∙PE=(OA-OP)(OA+OP)=OA2-OP2OP∙OQ=OP∙(OP+PQ)=OP2-OP∙PQ=OP2-PC∙PB弦相交定理ABCDP圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PDMN若弦MN⊥DC，且DC是过圆心的直径，则有PM2=PC·PD连接BD、AC，则∠B=∠C，∠A=∠D∴△PBD∽△PBA∴PA·PB＝PC·PD题6：如图，⊙A,⊙B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C，D且𝐶𝑃的弧长为l。1）求证：S阴影=12[𝐶𝐷−l𝑅+𝑟·CD]2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影ABCDEP【分析】阴影部分面积是梯形减去一个扇形组成的。S梯形=12（r+R）∙CDS扇形=l2π𝑅×πR2=lR2∴S阴影=12（r+R）∙CD-lR2=12[(CD-l)R+r∙CD]2）当R=6，r=2时，AE=4cm，AB=8cm∴∠ABE=30°∴BE=43，∠CAB=60°∴l=2πR÷6=2π代入，可得：S阴影=163-6π1、两圆的公切线2、图形的分割与组合考点题7：如图，⊙O1与⊙O2交于A、B，过A作⊙O2的切线交⊙O1于C，作⊙O1的切线交⊙O2于D。若∠CAB=45°，∠DAB=30°，⊙O2的半径为52，求图中阴影部分的面积。ABCDO1O2【分析】因为AD、AC分别是⊙O1、⊙O2切线，所以连接AO1、AO2，于是有CA⊥AO1，DA⊥AO2。要求得阴影部分的面积，需要得到⊙O1的半径。又AB是公共弦，所以连接BO1、BO2构建两个过圆心的三角形，通过公共弦与两圆的半径关系求解。解：连接AO1、AO2、BO1、BO2∵CA切⊙O2于点A∴∠CAO2=90°∵∠CAB=45°∴∠BAO2=45°且∠BO1C=90°∵AO2=BO2=52∴∠ABO2=45°∴∠AO2B=90°∵AB=10∵DA切⊙O1于点A∴∠DAO1=90°∵∠DAB=30°∴∠BAO1=60°∴△ABO1是等边三角形∴O1的半径为10∴S阴影=S扇形-S△BCO1=14π×102-12×102=25π-21、圆的切线、公共弦与半径关系2、圆周角与圆心角3、勾股定理考点当出现切线时，往往可以考虑添加过切点的半径或直径。切线与弦的夹角等于该弦对应的圆周角。题8：如图，已知△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠BAC。求证：BD=2CDABCDFE已知：AD平分∠BAC结论：S1:S2=AB:AC=BD:DC（等高模型）21S2ABCDS1【分析】从图中我们可以看出，角与角之间的等量关系，应该是解决这个题目的关键。而在圆中找角的等量关系，圆心角和圆周角能够与线段和弧发生关系。所以，找出等弧或等弦的圆心角或圆周角，往往是一种辅助手段。根据分析，添加辅助线找出各等量角∠ACB=∠AFB=∠AFC=∠ABC(等弧对应等圆周角）∠BED=2∠CED=BAC（已知）∠BFC+∠BAC=180°（内接四边形对角互补）条件中存在“两角互补”，且2倍关系2∠EFC+2∠CED=180°∠ECF=90°作∠BEF的平分线EG⊥BF，且△EGF≌△ECFG作∠BEF的平分线CF=GF=GB=12BFBF:FC=BD:DC三角形中角平分线割成的两个三角形的边的关系如下图BD=2CD题9：如图，已知过⊙O的弦BC的中点A作二弦PQ,RS,连结PS，RQ分别交BC于点M,N。求证：AM=ANABCRSPQNMO·【分析】这是一个蝴蝶模型，有很多证法。下面我们利用圆的对称性，通过构造轴对称图形的方法来证明。证明：过点S作SH⊥OA的延长线于点H，并延长SH交圆于点K，连接AK、NK、QKKH∵A是BC的中点，且O为圆心∴OA⊥BC且AS=AK（垂径定理）516143∴∠4=∠5=∠6=∠NAK∵R、S、K、Q四点共圆∴∠5+∠RQK=180°∴∠RQK+∠CAK=180°∴A、K、Q、N四点共圆∴∠2=∠3∵∠1=∠3∴∠1=∠2∴△AMS≌△ANK∴AM=AN1、圆的特点——轴对称图形2、垂径定理3、圆周角考点请考虑用其它方法来解决题10：在波平如镜的湖面，高出半尺的地方长着一朵红莲，它孤零零地直立在那里，突然被狂风吹倒一边，有一位渔人亲眼看见，它现在有两尺远离开那生长