车-羊问题的概率解法

在某个娱乐节目中，舞台上有三扇未打开的门，编号为1、2和3，门后有有一辆车和两只羊（每扇门后只有一个物品），幸运观众上台任意选中其中一扇门，门后的物品将作为他的奖品。观众选中后（尚未打开门），主持人分别在：（1）已知车在那扇门后，打开一扇门发现是羊；（2）未知车在那扇门后，打开一扇门发现是羊；此时，主持人告知观众，可以保持原来的选择或更换选择，请问观众该怎么做才有可能得到车？解：不失一般性，假设观众最初选中的是1号门。解法一：采用条件概率公式假设A=“观众选中的1号门后有车”，B=“其他门后有车”，C=“主持人打开一扇门发现是羊”。根据条件概率公式，()(|)()PACPACPC（1）()1PC，11()()(|)133PACPAPCA，所以()1(|)()3PACPACPC，即保持原来的选择，选中车的概率是1/3。22()()()(|)133PBCPACPAPCA，所以()2(|)()3PBCPBCPC，即改变原来的选择，选中车的概率是2/3。（2）2()3PC，11()()(|)133PACPAPCA，所以()1(|)()2PACPACPC，即保持原来的选择，选中车的概率是1/2。211()()()(|)323PBCPACPAPCA，所以()1(|)()2PBCPBCPC，即改变原来的选择，选中车的概率是1/2。解法二：采用全概率公式假设Ai=“观众选中的i号门后有车，i=1,2,3”，B=“观众不改选择得到车”，B’=“观众改变选择得到车”，（B是观众不改选择得到羊，与B’不同）C=“主持人打开一扇门发现是羊”。根据全概率公式，112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA1231()()()3PAPAPA（1）1(|)1PBA，23(|)(|)0PBAPBA，1(|)0PBA，23(|)(|)1PBAPBA，所以1111()1003333PB，相当于第二次选择，选中车的概率仍是1/3。1112()0113333PB，由()1PC，(|)1PCB，(|)1PCB(不管观众怎么选，主持人必选中羊)，得()1(|)()()(|)()3PBCPBCPBCPBPCBPC；()2(|)()()(|)()3PBCPBCPBCPBPCBPC（2）1(|)1PBA，23(|)(|)0PBAPBA，1(|)0PBA，231(|)(|)2PBAPBA，所以1111()1003333PB，111111()0332323PB，即改不改变选择，选中车的概率都是1/3。由2()3PC，(|)1PCB，(|)1PCB，得()()(|)(1/3)11(|)()()2/32PBCPBPCBPBCPCPC；()()(|)(1/3)11(|)()()2/32PBCPBPCBPBCPCPC解法三：采用贝叶斯公式假设A=“观众选中的门后是车”，A=“观众选中的门后是羊”，B=“主持人打开一扇门发现是羊”。根据贝叶斯公式，()(|)(|)()(|)()(|)PAPBAPABPAPBAPAPBA，1()3PA，2()3PA（1）(|)1PBA，(|)1PBA，所以(1/3)11(|)(1/3)1(2/3)13PAB；（2）(|)1PBA，1(|)2PBA，所以(1/3)11(|)(1/3)1(2/3)(1/2)2PAB。解法四：采用独立性等多种公式假设A=“观众选中的门后是车”，A=“观众选中的门后是羊”，B=“主持人打开一扇门发现是羊”。1()3PA，2()3PA（1）()1PB，表明B是必然事件，与任何事件相互独立，所以1(|)()3PABPA，2(|)()3PABPA；（2）2()()3PBPA，(|)1PBA，1(|)2PBA所以()()(|)(1/3)11(|)()()2/32PABPAPBAPABPBPB()()(|)1(|)(|)()()2PABPAPBAPABPBAPBPB结论：不管主持人使什么花招，改变选择后获得车的概率将不低于50%（为2/3或1/2）。Zqm2015.09