保角变换

复变函数、保角映射和初等变换目录复变函数保角映射初等变换复变函数基本概念𝑧=𝑥+𝑗𝑦𝑤=𝑓𝑧=𝑢(𝑥,𝑦)+𝑗𝑣(𝑥,𝑦)自变量为复数𝑤是𝑧的复变函数连续lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧)=𝑓(𝑧0)lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧0)∆𝑧可微解析𝑓𝑧在𝑧=𝑧0的某领域内有定义且可微奇异点𝑓𝑧在𝑧=𝑧0的某领域内没有定义或不可微的点复变函数基本概念柯西-黎曼条件（C-R条件）若复变函数𝑓𝑧是解析的，则𝑢𝑥,𝑦和𝑣𝑥,𝑦形成一对共轭函数，也一定满足柯西−黎曼条件共轭调和函数𝜕𝑢𝜕𝑥=𝜕𝑣𝜕𝑦,𝜕𝑣𝜕𝑥=−𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕2𝑢𝜕𝑥2=𝜕2𝑣𝜕𝑥𝜕𝑦,𝜕2𝑢𝜕𝑦2=−𝜕2𝑣𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2=0𝜕2𝑣𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝜕𝑦2=0𝑢=const.和𝑣=const。两组相互正交的曲线簇。一般地，若其中某一曲线簇与平面二维场的等位面相合，另一曲线簇同平面二维场电力线相合，则称前者为电位函数，后者为通量函数。将通量函数𝑢(𝑥,𝑦)和电位函数𝑣(𝑥,𝑦)看作是复变函数的实部和虚部。复变函数基本概念复变函数到保角变换求解平面二维边值问题最有用的方法是保角变换法，通常是通过分析，选取合适的解析函数，使得待求边值问题的边界条件与该解析函数的实部和虚部的变化曲线相吻合，从而得到复位函数的表达式，求出简单边界问题的解，再求其逆变换，从而得到所求问题的解。保角变换基本概念曲线切线倾角的复数表示𝜑=𝑎𝑟𝑔𝑧−𝑧0𝑡−𝑡0𝑧′(𝑡0)=lim𝑡→𝑡0𝑧−𝑧0𝑡−𝑡0𝜑=𝑎𝑟𝑔𝑧′(𝑡0)解析函数的导数的几何意义𝛷=arg𝑤′(𝑡0)=arg𝑓′(𝑧0)+arg𝑧′(𝑡0)=arg𝑓′(𝑧0)+𝜑arg𝑓′(𝑧0)=𝛷−𝜑𝑤′(𝑡0)=𝑓′(𝑧0)𝑧′(𝑡0)𝑓𝑧𝑡=𝑤(𝑡)保角变换基本概念伸缩率不变性旋转角不变性𝑑𝑠=|𝑓′(𝑧0)|𝑑𝜎arg𝑓′(𝑧0)=𝛷1−𝜑1=𝛷2−𝜑2𝜑1−𝜑2=𝛷1−𝛷2保角变换基本概念保角变换的概念第一类保角映射1、在𝑧0处具有伸缩率不变性2、在𝑧0处具有保角性第二类保角映射1、在𝑧0处具有伸缩率不变性2、在𝑧0处具有角度绝对值不变而旋转方向相反保角变换基本概念保角变换的重要定理保角变换基本概念二维标量亥姆霍兹方程的变换𝜕2𝜙𝜕𝑥2+𝜕2𝜙𝜕𝑦2+𝑘2𝜙=0𝛻𝑥𝑦2𝜙=𝑑𝑤𝑑𝑧2𝛻𝑢𝑣2𝜙𝛻𝑢𝑣2𝜙+𝑑𝑧𝑑𝑤2𝑘2𝜙=0重要特性1、变换前后，泊松方程形式不变2、变换前后，总电量不变3、变换前后，电极间的电容不变4、变换前后，电场强度的幅值间满足𝐸(𝑥,𝑦)=𝑓′(𝑧)2𝐸(𝑢,𝑣)上述特性在二维平面场的保角变换中十分有用初等变换分式线性变换𝑤=𝑎𝑧+𝑏𝑐𝑧+𝑑分式线性变换特例平移变换旋转变换相似变换倒数变换𝑤=𝑧+𝑏𝑤=𝑒𝑗𝜃𝑧𝑤=𝑘𝑧𝑤=1𝑧任何一个分式线性变换都可以表示成上述变换的乘积初等变换分式线性变换性质保角性保圆性保对称性保交比性分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，具有保角性分式线性变换在扩充复平面上的圆周变换为扩充复平面上的圆周，且具有保圆性在𝑧平面上两点关于圆周𝑐对称，那么分式变换下，在𝑤平面的对应两点关于𝑐的像曲线对称𝑤4−𝑤1𝑤4−𝑤2:𝑤3−𝑤1𝑤3−𝑤2=𝑧4−𝑧1𝑧4−𝑧2:𝑧3−𝑧1𝑧3−𝑧2初等变换其他初等函数构成的变换幂函数与根式函数变换对指数-对数变换对将𝑧(𝑤)平面上以原点为顶点的角形域映射成𝑤(𝑧)平面以原点为顶点的角形域，但是张角为原来的𝑛(1𝑛)倍将𝑤平面上𝑢和𝑣为常数的矩形网格映射到𝑧平面上，其方程为初等变换其他初等函数构成的变换正弦-反正弦变换对余弦-反余弦变换对将𝑤平面上𝑢和𝑣为常数的矩形网格映射到𝑧平面上，其方程为一条为双曲线，一条为椭圆线，就如微带线的电力线和电位线将𝑧平面上𝑥和𝑦为常数的矩形网格映射到𝑤平面上，其方程为一条为双曲线，一条为椭圆线，就如微带线的电力线和电位线初等变换其他初等函数构成的变换双曲正弦-反双曲正弦变换对双曲余弦-反双曲余弦变换对将𝑧平面上𝑥和𝑦为常数的矩形网格映射到𝑤平面上，其方程为一条为双曲线，一条为椭圆线，就如微带线的电力线和电位线将𝑤平面上𝑢和𝑣为常数的矩形网格映射到𝑧平面上，其方程为一条为双曲线，一条为椭圆线，就如微带线的电力线和电位线初等变换其他初等函数构成的变换双曲正切-反双曲正切变换对儒可夫斯基变换将𝑧平面上𝑥和𝑦为常数的矩形网格映射到𝑤平面上，其方程为圆心分别为(𝑐𝑜𝑡ℎ2𝑢,0)和(0,𝑐𝑜𝑡2𝑣)两条椭圆线初等变换其他初等函数构成的变换若𝑧=𝑒𝑗𝜑,0≤𝜑≤2𝜋，则将z平面上的单位圆映射成𝑤平面上从−1到+1的直线段𝑤=(𝑒𝑗𝜑+𝑒−𝑗𝜑)2=𝑐𝑜𝑠𝜑若𝑧=𝜌𝑒𝑗𝜑,0≤𝜑≤2𝜋,0≤𝜌≤1，则或将z平面上的圆周映射成𝑤平面上椭圆谢谢！