天津复习题工程数学

一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1）设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C地200吨、D地100吨。已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。ABCD甲2125715乙51513715解：设甲、乙运往A、B、C、D的物资量分别为x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24吨，则由题意，我们需要去求21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x22+37x23+15x24的最小值。显然x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A地1700吨”等条件限制。总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ijfxxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxxxxxxij该模型的现实含意为：在x11+x12+x13+x14=2000等条件下，求f=21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x22+37x23+15x24的最小值。(这里先做出数学模型，以后再考虑求解方法)（2）某工厂用3种原料P1，P2，P3生产3种产品Q1，Q2，Q3。已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。Q1Q2Q3原料可用量（kg/日）P12301500P2024800P33252000单位产品利润(千元)354解：设三种产品的生产量分别为x1,x2,x3时可以得到最大利润3x1+5x2+4x3，则由题意，我们可以得到完整的模型为销地运费产地销地单位产品所需原料kg原料1231223123max354..231500,24800,3252000,0,1,2,3jzxxxstxxxxxxxxj二、用图解法解线性规划121212min5..284zxxstxxxx三、论述用单纯形方法解LP问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。四、用最优化思想求解下面的非线性规划问题222123123123max4212..329,,0Fxxxstxxxxxx五、用动态规划思想，设计填表法，求解下面的划分问题：在集合A＝｛a1，a2，…，an｝上定义正整数函数s，令()aABsa，问是否存在AA，使得()2aABsa。六、综述网络分析中的主要概念、主要问题及相应算法。七、证明：从n个元素中取出奇数个元素和取出偶数个元素取法数相同。设C(n,k)为从n个元素中取出k个的方法数。那么取奇数个元素的方法数就为：S1=C(n,1)+C(n,3)+...+C(n,m),m是不超过n的最大奇数取偶数个元素的方法数为：S2=C(n,0)+C(n,2)+...+C(n,p），p是不超过n的最大偶数根据二项式公式：0=[1+(-1)]^2=C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)+...+(-1)^nC(n,n)=S2-S1从而S2=S1八、字典序法生成排列时，135798642是第几个排列，下一个排列是谁？下一个排列为：135824679x1+x2=5x1-2x2=22x1-x2=-2-x1+x2=0(5,0)(0,5)(2,0)(0,-1)x1x2(0,2)(-1,0)怎样求是第几个排列呢。本人简单总结如下：下面将以此列说明。设为第n个排列。一、将各位对应相减找到从左往右数的变更位，相减为1.则得到n1=1*7！二、将未用到的1和用过的3去掉将剩下的做对应相减找到第一个变更位，相减为3则得到n2=3*6！三、将用过的5去掉，将剩下的再做相减得到n3=5*5！四、继续重复以上步骤n4=7*4！n5=6*3！=36n6=4*2！=8n7=2*1！=2n8=1*0！=1.n=n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8。九、给出错排及错排问题的定义，并用两种不同方法求解错排问题。错排问题就是n个元素依次给以标号1，2，…，n，n个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列的个数。设Ai为数i在第i位上的全体排列，i＝1,2,…,n。因数字i不动，故：｜Ai｜＝(n－1)!，i＝1,2,...,n．同理｜Ai∩Aj｜＝(n－2)!，i，j＝1，2，…，n，i≠j．每个元素都不在原来位置上的排列数为：｜A——1∩A——2∩…∩A——n｜=n!－C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!－…+(-1)nC(n,n)0!=n!(1-1/1!+1/2!－…+1/n!)十、设a1,a2,···,am是正整数序列，则存在k和l,1≤k≤l≤m，使得和ak+ak+1+···+al是m的倍数。十一、证明6个人中或者存在3个人相互认识，或者存在3个人相互不认识。在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，…，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。十二、多项式(a+b+c+d)100展开后共有多少不同的项？(a+b+c+d)^100展开后的每一项的各个变量的幂次之和都要等于100。因此，多项式(a+b+c+d)^100展开后的不同的项数与方程x+y+z+w=100的不同的非负整数解的个数完全相同。x+y=n,因x可以从0变化到n，共有n+1种不同的取值.对于x的每一种取值，y只能取固定值（n-x）.因此，x+y=n一共有n+1组不同的非负整数解。结论1，x+y=n的非负整数解的个数为n+1。x+y+z=n,x+(y+z)=n,因x可以从0变化到n，共有n+1种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z)只能取固定值（n-x）.而根据结论1，y+z=n-x，一共有n-x+1组不同的非负整数解.因此，x+y+z=n的不同的非负整数解的个数为，（n+1-0）+（n+1-1）+（n+1-2）+。。。+[n+1-(n+1）]=n+1+n+(n-1)+。。。+0=(n+1)(n+2)/2。结论2，x+y+z=n的非负整数解的个数为(n+1)(n+2)/2。x+y+z+w=100,x+(y+z+w)=100,因x可以从0变化到101，共有101种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z+w)只能取固定值（100-x）.而根据结论2，y+z+w=100-x，一共有(101-x)(102-x)/2组不同的非负整数解.因此，x+y+z+w=100的不同的非负整数解的个数为，(101-0)(102-0)/2+(101-1)(102-1)/2+(101-2)(102-2)/2+...+(101-101)(102-101)/2=[101*102+100*101+99*100+...+0*1]/2=[(101^2+101)+(100^2+100)+(99^2+99)+...+(0^2+0)]/2=[(101^2+100^2+99^2+...+0^2)+(101+100+99+...+0)]/2=[101*(101+1)(2*101+1)/6+101*102/2]/2=[101*102*203/6+101*102/2]/2=101*102[203/6+1/2]/2=101*51[206]/6=101*17*103=176851