行列式的解法

定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第1页1行列式的解法摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。关键词：行列式三角形行列式范德蒙行列式循环行列式。DeterminantsolutionsAbstract:Thisarticleenumeratesseveralcalculationmethodsofdeteminants.suchas.turningintotriangle.extractingpubliclyownedmultiplierandsoon.Atthesametime.itpointsouttheserviceconditionsofthesekindsofmethods.Keywords:determination.triangulairedetermination.vandermondedetermination一、定义法111212122212nnnnnnaaaaaaaaan介行列式1的值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa2的代数和,这里12njjj是1,2,,n的一个排列,每一项2都是按下列规则带有符号:当12njjj是偶排列时,2带有正号,当12njjj是奇排列时,2带有负号.这一定义可以写成121212111212122212121nnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa,这里12njjj表示对所有n级排列求和.例1.计算2336的值.解:原式定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第2页226333但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项1212njjnjaaa中有一因数为零时，该项的值为零，故只需求出全部为非零乘积的1212njjnjaaa项相加即可。通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标12njjj的所有可能的非零取值，并且要注意每一项1212njjnjaaa的符号。例2.计算12345阶行列式12345A=1234500000000123440020001000解:有定义法知:只需求出A中所有的非零项相加即可。D中的第一行的非零元素只有1,12344a，因而112344j，同理2123441234512343112345jjj于是12njjj在可能取的数值中，12njjj只能组成一个12345个元素的排列：1234412343…2112345.而此排列的逆序数为=123432123442)1(nn为偶数，故2009,20091,20082007,22008,11Aaaaa1345123443211)12343212344(!12345二、升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第3页3计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例1计算n阶行列式2212221212121nnnnnnacaaaaaaacaaaaaaacD，其中0c解2212221212121210001nnnnnnnacaaaaaaacaaaaaaacaaaDcacacaaaann00000012121将最后一个行列式的第j列的11jac倍加到第一列（)13,2nj，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+niicccac121,,,,故niinnnaccD121例2计算n阶行列式nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD21222212222121111解好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD21111211222221222221211111定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第4页4按第1n列展开，则得到一个关于y的多项式，1ny的系数为nnnnDD1)1(。另一方面nijniijinxyxxD111)(*)(显然，1nD中1ny的系数为nijnjixxxxx121)()(所以ninijjiinxxxD11)(*三、降阶法（按行按列展开）利用行列式的性质对行列式中存在某行（列）0元素较多的行列式进行行(列)展开.容易留下少些非0部分将行列式降阶一般也只对非特殊阶数不高的行列式计算如下.亦可利用降阶定理对高阶的行列式求值.例5．计算行列式1310310112104121D解：1310310112101020D=131121102=031023102=3123=-7降阶定理:设ABCD是方阵,且A可逆,则1ABADCABCD证明:111211120000EABABCAECDDCABEABABCAECDDCAB定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第5页5例6.计算1bbbcdddcddcdd其中解:原式=111ddcddcbbbbcddc=,cbdcbdcbdcbcbdcbdcbdcbcb然后从第2列起,后面的每一列依次减去第一列,可得:原式=000000cbddddcbddcbddcbd=210000ndncbdcbddcbd=121ndndncb四、利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例3计算n阶行列式accbacbbaDn，其中0,bccb解将nD的第一行视为,0,0,)(cccca据行列式的性质，得定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第6页6accbacbbcacbabbcaaccbacbbccaDn000011)()(nnnbacDcaD)1(于b与c的对称性，不难得到11)()(nnncabDbaD)2(联立（1），(2）解之，得nnnbaccabcbD)()()(1例4计算n阶行列式baabbabaabbaabbaDn00000000010001000解将nD按第一行展开，得baabbabaababDbaDnn100000000011于是得到一个递推关系式21)(nnnabDDbaD，变形得)(111nnnnbDDabDD易知)()(4333221nnnnnnbDDabDDabDDnnnabababbaabDDa)()()(22122所以1nnnbDaD，据此关系式在递推，有22121)(nnnnnnnDbbaabDabaDnnnnnnnnbabbaaDbbabaa1111221如果我们将nD的第一列元素看作ba,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nnnbDaD，同样可得nD的值。定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第7页7五、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例5计算N阶行列式abbbabbbaDn解abbabbbnaDn1111bababbbna0000111)()1(nbabna六、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例6计算n阶行列式)1()1()1()1()1()1()1()1()1(111121211122221212211nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxD解将第一行可视为)1(),1(),1(2211nnxxxxxx，再由行列式的性质，得)1()1()1()1()1()1(1212111221121nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD)1()1()1()1()1()1(1111212111221121nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx把第一个行列式从第一行起依次将i行加到1i行；第二个行列式的第i列提取定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第8页8),3,2,1(1nixi得ninnnnnnninnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD112121112211212222121)1()1()1()1()1()1(111)1(=nijjininiiixxxx111)(*)1(七、利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例7计算n阶行列式nnnnnnnbababababababababaD111111111212221212111解0000001110010010012121nnnbbbaaaD所以，当2n时，0nD；当2n时，))((12122bbaaD当1n时，1111baD八、加边法行列式的计算一般是想办法降阶,但对于某些行列式,在保持原行列式值不变的基础上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1组成),然后可化为爪型行列式,最终在根据行列式性质化为上下三角形行列式计算.定西师范高等专科学校11级数学教育燕鹏第9页9例7.求nibbaaaabaaaabaDinnnnn,,2,1,021221211分析:这类行列式的一个显著特点就是每一行每一列除个别元素以外均相同,这时可加条边将相同元素化为0.解：nDnnnnnbaaaaabaaaaba212212111110001nnbbbaaa001001001121211121121000000000nnnnaaaaabbbbb112111