数理统计公式汇总

公式汇总：三、均值和方差的置信区间估计3.1均值的估计3.1.1方差已知：0~(0,1)/XZNn，00/2/2,σσXzXznn3.1.2方差未知：~(1)/XttnSn，/2/2,SSXtXtnn3.2方差的估计3.2.1均值已知：略3.2.2均值未知：/22221/22(1)(1)(1)1nSPnn，/2222221/2(1)(1)(1)(1)nSnSnn得到置信区间：/222221/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn四、两个总体的置信区间4.1正太均值差12的区间估计4.1.1方差已知2111~(,)XNn，2222~(,)YNn，于是：22121212~(,)XYNnn，12221212()~(0,1)XYNnn，得到：置信区间为：2212212XYZnn4.1.2方差未知12122211221212()T~(2)(1)(1)112XYtnnnSnSnnnn，222112212(1)(1)2WnSnSSnn得到：2121211(2)wXYtnnSnn4.2正太总体方差的比2212的置信区间估计4.2.1仅讨论均值未知的情况2211122222~(1,1)SFnnS，221112122122222(1,1)(1,1)1SPFnnFnnS得到：221122221221212SS11,S(1,1)S(1,1)FnnFnn4.3单侧置信区间单侧下限：1ˆ{}1P单侧上限：2ˆ{}1P具体的，将双侧置信区间中的α/2改成α，然后下限就取区间左端，上限就取区间右端。5回归分析5.1线性回归方程以及相关系数r1ˆ/xyxxLL，01ˆˆyx其中：22211()nnxxiiiiLxxxnx1()()nxyiiiLxxyy1niiixynxy22211()nnyyiiiiLyyyny相关系数：2xy2xxyylr=llr有如下性质：1.1r2.1r时，y与x有线性相关关系3.0r时，y与x线性无关4.r越大，线性关系越强5.22的无偏估计2ˆ2eQn，其中1ˆeyyxyQLL5.3对回归方程进行显著性检测5.3.1F检测假设：01:0,H11:0.H统计量：22(2)2(~)1nSFSFn残回，拒绝域：22(2)(1,2)nSFFnS残回，若在拒绝域内，则拒绝假设0H，认为线性关系显著。其中：222111ˆˆˆ()=nixxxyiSyyLL回，2221ˆ=yyxyeSSSLLQ回残总5.3.2t检测假设：01:0,H11:0.H拒绝域：1/2ˆ(2)ˆxxLttn，若在拒绝域内，则拒绝假设0H，认为线性关系显著。5.4预测：给定x=x0，给出置信水平，预测y，求y的置信区间对应y的置信区间为：200/2()1ˆˆ1(2)xxxxytnnL当n较大时，简化为：0/2ˆˆyu5.5控制：当x处于什么范围时，相应观测值y至少以1-α的置信度落在（y1,y2）中。解：21/21001()1ˆˆ1(21))ˆ(xxxxLxytnn注意这里下限对应加，上限对应减22/22001()1ˆˆ1(21))ˆ(xxxxLxytnn当n较大时，简化为：11/201ˆˆ1()ˆuxy22/201ˆˆ1()ˆuxy6方差分析与正交实验设计6.1单因素方差分析方差来源平方和自由度均方和（离差）F值因素ASAs-1sAASS=-1AESFS误差ESEn-sEESSns总和TSTn-1其中：s表示因素A有s个水平，或者说有s种选择。nj表示水平j有nj个样本总样本数：1sjjnn组间差：22..111()()jnsSAjjjjiJSXXnXX＝＝组内差：2E.11S()jnsijjjiXX组内平均值：.11jnjijijXXn样本总平均值：.11111jnjjijjjjijXXnXnn＝总和：TSAESS，这三个平方和均服从卡方分布统计量：~(1,)AESFFsnsS显著性检测：H0：所有水平下的均值μ均相等。则有：00(1,);(1,);FFsnsHFFsnsH若，则拒绝若，则接受6.2双因素方差分析6.2.1无交互作用的方差分析表来源离差平方和自由度均方离差F值因素A21()rAiiSsXX1r1AASSrAAESFS因素B21()sBjjSrXX1s1BBSSsBBESFS误差112rsEijiijjSXXXX11rs(1)(1)EESSrs总和211()rsTijijSXX1rs其中：r表示A的水平数，s表示B的水平数11,siijjXXs11,rjijiXXr111rsijijXXrs1111rsijijXXXrs假设检验：0112:0rH对应拒绝域：(1,(1)(1))AFFrrs0212:0sH对应拒绝域：(1,(1)(1))BFFrrs6.2.2有交互作用的方差分析表来源离差平方和自由度均方离差F值因素A21()rAiiSsXX1r1AASSrAAESFS因素B21()sBjjSrXX1s1BBSSsBBESFS交互作用211()IrsijijijScXXXX11rs1,(1)(1)IISSrsIIESFS误差2111rscEijkijijkSXX1rsc11EESSrsc总和2111rscijkijkTXXS1rsc其中：r是A的水平数，s是B的水平数，c是A和B的每一种组合的试验次数。假设检验：1,1AFFrrsc，表示A对结果影响显著1,1BFFsrsc，表示B对结果影响显著11,1IFFrsrsc，表明A和B的交互作用对结果影响显著。