扩散方程

扩散方程研究气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程。在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律。扩散定律扩散物质在单位时间内沿法线方向n流过单位面积的曲面的质量与物质浓度(,,,)Cxyzt沿法线方向n的方向导数Cn成正比。由扩散定律，扩散物质在时段dt内沿法线方向n流过面积为dS的曲面的质量dm为：(,,)CdmDxyzdSdtn其中(,,)Dxyz为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗透。任取一封闭曲面，它所围区域记为，则从时刻1t到时刻2t进入此闭曲面的物质质量为21{(,,)}ttCmDxyzdSdtn由高斯公式(,,){()()()}CCCCDxyzdSDDDdVnxxyyzz，21{{()()()}}ttCCCmDDDdVdtxxyyzz同时，物质渗透到区域内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔11[,]tt内，浓度由1(,,,)Cxyzt变化为2(,,,)Cxyzt，增加的物质质量为221121((,,,)(,,,))()()ttttCCCxyztCxyztdVdtdVdVdttt由质量守恒即有2211{{()()()}}()ttttCCCCDDDdVdtdVdtxxyyzzt于是得到扩散方程()()()CCCCDDDtxxyyzz若扩散系数(,,)Dxyz为常数，则扩散方程为222222()CCCCDtxyz