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2013高考数学常见难题大盘点:数列1.已知函数2()1fxxx,,是方程f(x)=0的两个根(),'()fx是f(x)的导数;设11a,1()'()nnnnfaaafa(n=1,2,……)(1)求,的值;(2)证明:对任意的正整数n,都有na>a;解析:(1)∵2()1fxxx,,是方程f(x)=0的两个根(),∴1515,22;(2)'()21fxx,21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa=5114(21)4212nnaa,∵11a,∴有基本不等式可知25102a(当且仅当1512a时取等号),∴25102a同,样3512a,……,512na(n=1,2,……),2.已知数列na的首项121aa(a是常数,且1a),24221nnaann(2n),数列nb的首项1ba,2nabnn(2n)。(1)证明:nb从第2项起是以2为公比的等比数列;(2)设nS为数列nb的前n项和,且nS是等比数列,求实数a的值;(3)当a0时,求数列na的最小项。分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由a的不同而要分类讨论。解:(1)∵2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n≥2)由121aa得24aa,22444baa,∵1a,∴20b,即{}nb从第2项起是以2为公比的等比数列。(2)1(44)(21)34(22)221nnnaSaaa当n≥2时,111(22)234342(22)234(1)234nnnnnSaaaSaaaa∵}{nS是等比数列,∴1nnSS(n≥2)是常数,∴3a+4=0,即43a。(3)由(1)知当2n时,2(44)2(1)2nnnbaa,所以221(1)(1)2(2)nnanaann,所以数列na为2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,……显然最小项是前三项中的一项。当1(0,)4a时,最小项为8a-1;当14a时,最小项为4a或8a-1;当11(,)42a时,最小项为4a;当12a时,最小项为4a或2a+1;当1(,)2a时,最小项为2a+1。点评:本题考查了用定义证明等比数列,分类讨论的数学思想,有一定的综合性。考点二:求数列的通项与求和3.已知数列{}na中各项为:12、1122、111222、……、111n个222n个……(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.(2)求这个数列前n项之和Sn.分析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。解:(1)12(101)10(101)99nnnna1(101)(102)9nn101101()(1)33nn记:A=1013n,则A=333n为整数na=A(A+1),得证(2)21121010999nnna2422112(101010)(101010)999nnnSn2211(101110198210)891nnn点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成”两个相邻正数的积,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。4.已知数列na满足411a,),2(2111Nnnaaannnn.(Ⅰ)求数列na的通项公式na;(Ⅱ)设21nnab,求数列nb的前n项和nS;(Ⅲ)设2)12(sinnacnn,数列nc的前n项和为nT.求证:对任意的Nn,74nT.分析:本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列,对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解:(Ⅰ)12)1(1nnnaa,])1(1)[2()1(111nnnnaa,又3)1(11a,数列nna11是首项为3,公比为2的等比数列.1)2(3)1(1nnna,即123)1(11nnna.(Ⅱ)12649)123(1121nnnnb.9264321)21(1641)41(19nnSnnnnn.(Ⅲ)1)1(2)12(sinnn,1231)1()2(3)1(111nnnnnc.当3n时,则12311231123113112nnT212211211321])(1[28112312312317141nn7484488447612811])21(1[6128112n.321TTT,对任意的Nn,74nT.点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列na的通项na,第三问不等式的证明要用到放缩的办法,这将到下一考点要重点讲到。考点三:数列与不等式的联系5.已知为锐角,且12tan,函数)42sin(2tan)(2xxxf,数列{an}的首项)(,2111nnafaa.⑴求函数)(xf的表达式;⑵求证:nnaa1;分析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。解:⑴1)12(1)12(2tan1tan22tan22又∵为锐角∴42∴1)42sin(xxxf2)(⑵nnnaaa21∵211a∴naaa,,32都大于0∴02na∴nnaa1点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式的证明更具有一般性。6.已知数列na满足111,21nnaaanN(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅱ)若数列nb满足nnbnbbbba)1(44441111321,证明:nb是等差数列;(Ⅲ)证明:23111123nnNaaa分析:本例(1)通过把递推关系式转化成等比型的数列;第(2)关键在于找出连续三项间的关系;第(3)问关键在如何放缩。解:(1)121nnaa,)1(211nnaa故数列}1{na是首项为2,公比为2的等比数列。nna21,12nna(2)nnbnbbbba)1(44441111321,nnnbnbbb24)(21nnnbnbbb2)(221①1121)1()1(2)(2nnnbnnbbbb②②—①得nnnnbbnb11)1(22,即1)1(2nnbnnb③212)1(nnnbbn④④—③得112nnnnbnbnb,即112nnnbbb所以数列}{nb是等差数列(3)1111212211211nnnnaa设132111naaaS,则)111(211322naaaaS)1(21112naSa3213212112nnaaaS点评:数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了,而且不容易把握,对于这样的题要多探索,多角度的思考问题。7.已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,1nnafa;数列nb满足1111,(1)22nnbbnb,*nN.求证:(Ⅰ)101;nnaa(Ⅱ)21;2nnaa(Ⅲ)若12,2a则当n≥2时,!nnban.分析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明01na,*nN.(1)当n=1时,由已知得结论成立;(2)假设当n=k时,结论成立,即01ka.则当n=k+1时,因为0x1时,1()1011xfxxx,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0,1上连续,所以f(0)f(ka)f(1),即011ln21ka.故当n=k+1时,结论也成立.即01na对于一切正整数都成立.又由01na,得1ln1ln(1)0nnnnnnaaaaaa,从而1nnaa.综上可知101.nnaa(Ⅱ)构造函数g(x)=22x-f(x)=2ln(1)2xxx,0x1,由2()01xgxx,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续,所以g(x)g(0)=0.因为01na,所以0nga,即22nnafa0,从而21.2nnaa(Ⅲ)因为1111,(1)22nnbbnb,所以0nb,1nnbb12n,所以1211211!2nnnnnnbbbbbnbbb————①,由(Ⅱ)21,2nnaa知:12nnnaaa,所以1naa=31212121222nnnaaaaaaaaa,因为122a,n≥2,101.nnaa所以na1121222naaaa112nna2122na=12n————②.由①②两式可知:!nnban.点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。考点四:数列与函数、向量等的联系8.已知函数f(x)=52168xx,设正项数列na满足1a=l,1nnafa.(1)写出2a、3a的值;(2)试比较na与54的大小,并说明理由;(3)设数列nb满足nb=54-na,记Sn=1niib.证明:当n≥2时,Sn<14(2n-1).分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解:(1)152168nnnaaa,因为11,a所以2373,.84aa(2)因为10,0,nnaa所以1680,02.nnaa15548()52553444168432(2)22nnnnnnnaaaaaaa,因为20,na所以154na与54na同号,因为151044a,250,4a350,4a…,50,4na即5.4na(3)当2n时,1111531531()422422nnnnnnbaabaa113125224nnbb,所以2131212222nnnnnbbbb,所以3121(12)11114(21)422124nnnnnSbbb点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。9.在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中),(),,(nnnnbnBanA)0,1(nCn,满足向量1nnAA与向量nnCB共线,且点(B,n)在方向向量为(1,6)的线上.,11abaa(1)试用a与n表示)2(nan;(2)若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值,试求a的取值范围。分析:第(1)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解:(1),),,1(),,1(1111naaCBAAbCBaaAAnnnnnnnnnnnnn共线,与又∵{B
本文标题:高考数学-常见难题大盘点-数列
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