对函数的再探索总复习(经典精华版)

1对函数的再探索期末复习指导知识盘点（一）函数与它的表示法1.函数的概念一般地，在同一个变化过程中，有个变量x与y，如果对于变量x在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有的值与它对应，那么就说y是x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。2.函数的表示法有、、三种，这三种方法有时可以互相转化。3.自变量的取值范围①关系式为整式时，自变量的取值范围；②关系式含有分式时，分式的分母；③关系式含有二次根式时，被开方式；④关系式中含有指数为零的式子时，底数；⑤实际问题或几何问题中，自变量的取值范围使有意义或使有意义。（二）一次函数与一元一次不等式1.一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的坐标的值.2.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.（三）反比例函数1．反比例函数一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．温馨提示：反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为k.2.反比例函数的图象和性质2温馨提示：①它的图象的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴。②反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。3.反比例函数解析式的确定确定的方法是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要对应值或图象上的个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。（三）二次函数1.二次函数的定义形如（a、b、c为常数，a0），那么y叫x的二次函数。温馨提示：二次项系数a≠0；自变量x的最高次数为2。2.二次函数的图象和性质抛物线对称轴顶点坐标开口方向y=ax2当a＞0时，开口当a＜0时,开口Y=ax2+kY=a(x-h)2y=a(x-h)2+kY=ax2+bx+c（2）、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而,图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而,在对称轴左侧，y随x的增大而,图象有最点，此时函数有最值.3.二次函数的平移平移规律：_________温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点的平移，因此只要掌握了顶点如何平反比例函数kyxkyxk的符号k＞0k＜0图象的大致位置经过象限第象限第象限性质在每一象限内y随x的增大而在每一象限内y随x的增大而oyxyxo3移的，就掌握了二次函数图象间的平移。4.待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图象与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：.温馨提示：顶点式直接显示二次函数的顶点坐标（h,k）；交点式直接显示二次函数图象与x轴的两个交点(x1，0)和(x2，0)。5.抛物线cbxaxy2中cba,,的作用（1）a决定开口方向及开口大小①当0a时，抛物线开口____，顶点为其最__点；当0a时，抛物线开口___；顶点为其最__点。②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.温馨提示：a相等，抛物线的开口大小、形状相同。a越大，图象开口越小；a越小，图象开口越大。（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线cbxaxy2的对称轴是_______，故：①0b时，对称轴为____；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在__________；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在________。（左同右异）（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（____）。①0c，抛物线经过_____;②0c,与y轴交于____；③0c,与y轴交于_______.6.二次函数与一元二次方程二次函数cbxaxy2的图象与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根。抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式ac4b2判定：①有两个交点(0)方程有_____的实数根；②有一个交点（顶点在x轴上）(0)方程有_____的实数根；③没有交点(0)方程_____实数根。温馨提示：抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,22212121212444bcbacABxxxxxxxxaaaa2（）（）（）47.二次函数的应用主要有以下几个方面：①.方案设计最优化问题（转化思想）：费用最低？利润最大？储量最大？等等。②.面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。（数形结合思想）③.建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。如拱桥问题、篮球架下的抛物线、喷泉、跳台跳水问题等.(建立图象模型)④.根据实际问题情境抽象出二次函数模型。（建模思想）⑤.根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。考点呈现考点一反比例函数的图象与性质例1（2011年盐城市）对于反比例函数1yx，下列说法正确的是A．图象经过点（1，－1）B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形D．当x＜0时，y随x的增大而增大【思路分析】根据反比例函数的图象性质：A．因为111，所以图象不经过点（1，－1），选项错误；B．图象位于第一、三象限，选项错误；C．图象是中心对称图形，选项正确；D．当x＜0时，y随x增大而减小。故选C。【答案】C。考点二二次函数的图象例2、（2011•潍坊）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A、B、5C、D、【思路分析】根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，解得：x1=1，x2=3∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）故选C．【方法指导】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．考点三函数的性质例3、（2011•潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为如：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．（写出一个即可）【思路分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．解：符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．【方法指导】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．例4（2011年宿迁市）已知二次函数20yaxbxca＝的图象如图，则下列结论中正确的是A．a＞0B．当＞1时，y随的增大而增大C．c＜0D．3是方程20axbxc＝的一个根【思路分析】从二次函数的图象可知，图象开口向下，＜0；当＞1时，随x的增大而减小；＝0时，y＝c＞0；函数的对称轴为x＝1，xaxxyx6函数与x轴的一个交点的横坐标为－1，则根据对称性，函数与x轴的另一个交点的横坐标为3。故选D。【答案】D。考点三二次函数图象的平移。例5.（2011年盐城市）已知二次函数21322yxx。（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．【思路分析】（1）∵2213112222yxxx；y＝0，x＝－2，1。∴这个函数的图象顶点在（－1，2），对称轴是x＝－1，与x轴的两个交点是（－2，0），（1，0）。据此可画出这个函数的图象。（2）根据图象，y＜0时图象在x轴下方，此时对应的x的取值范围是x＜－3或x＞1。（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，只要考虑图象顶点（－1，2）向右平移3个单位得到（3，2），从而由21122yx变为21222yx。【答案】解：（1）画图(如图)。（2）当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1。（3）平移后图象所对应的函数关系式为21222yx。考点四二次函数与一元二次方程例6.（2011年广东省）已知抛物线cxxy221与x轴没有交点．（1）求c的取值范围；（2）试确定直线1cxy经过的象限，并说明理由．【思路分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。（2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线=1ycx经过的象限。xyO7解：（1）∵抛物线21=2yxxc与x轴没有交点，∴对应的一元二次方程21=02xxc没有实数根。∴211=14=12022ccc，。（2）顺次经过一、二、三象限。因为对于直线1==0=102ykxbkcb，，，所以根据一次函数的图象特征，知道直线=1ycx顺次经过三、二、一象限。考点五二次函数与一次函数综合应用例7、（2011•潍坊）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬．8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价袼y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2010年的12个月中．这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？【思路分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可；（3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可．解：（1）当1≤x≤7时，设y=kx+m将点（1，8）、（7，26）分别代入y=kx+m得：解之得：∴函数的解析式为：y=3x+5当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入y=ax2+bx+c得解之得：∴函数的解析式为y=x2﹣2