数列难题放缩法的技巧(精华)

1数列难题放缩法的技巧一、基本方法1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证143＜＋＜ab。例2.已知a、b、c不全为零，求证：aabbbbcccacaabc22222232＞（）[变式训练]已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa2.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜abcbaccab。3.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求n2n131211＜…。例5.已知*Nn且)1n(n3221an，求证：2)1(2)1(2nannn对所有正整数n都成立。4.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数1212)(xxxf，证明：对于*Nn且3n都有1)(nnnf。例7.已知2x1)x(f，求证：当ab时fafbab（）（）。5.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目2的。例8.已知cba，求证0ac1cb1ba1。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有222cba，当*Nn且3n时，求证：nnncba。6.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证b1ba1aba1ba。7.放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}na满足2111,0,2nnaaa求证：1211().32nkkkkaaa8.固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：2222111171234n9.利用基本不等式放缩例7、已知54nan，证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.10.先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niAim＜miAin；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m二、放缩法综合问题（一）、先求和后放缩例1．正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB。（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）例、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.1．放缩后成等差数列，再求和3例2．已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS,且22nnnaaS.(1)求证：2214nnnaaS；(2)求证：112122nnnSSSSS2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：nnnaaaa)1()(2；（2）等比数列{an}中，112a，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设nnnaab12，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜13．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn．求证：11213nnnnaa4．放缩后为裂项相消，再求和例5、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．