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利用方程思想求解线段问题学习了线段的知识以后,我们就会经常遇到要求有关线段长度的大小计算问题,虽然不少同学已经牢固地掌握了线段、线段中点等有关概念,但还是难以下笔.事实上,对于比较复杂的一些线段的计算问题,若能适当引进未知数,巧妙地运用方程知识求解,往往会简洁求解.现举例说明.例1已知线段AB,延长AB到C,使BC=32AB,且BC比AB大1,D是线段AB的中点,如图1.(1)求线段CD的长.(2)线段AC是线段DB的几倍?(3)线段AD是线段BC的几分之几?分析:要求解本题中的几个问题,由于BC=32AB,这就相当于BC∶AB=3∶2,于是我们可以引进未知数,利用BC比AB大1构造方程求解.解:(1)因为BC=32AB,所以BC∶AB=3∶2.设BC=3x,则AB=2x.因为BC比AB大1,所以3x-2x=1,即x=1,所以BC=3x=3,AB=2x=2.又因为D是线段AB的中点,所以AD=DB=1,所以CD=BC+BD=3+1=4.(2)因为AC=AB+BC=2+3=5,所以AC=5DB,即线段AC是线段DB的5倍.(3)因为AD=1,BC=3,即3AD=BC,所以AD=13BC,即线段AD是线段BC的三分之一.评注:在解答有关线段的和、差、几倍或几分之几的计算问题时,一般要注意以下几个方面:①利用或按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的先决条件;②学会观察图形,找出线段间的关系,构造方程是求解的关键.例2已知线段AB,延长线段AB至C,使BC=34AB,反向延长线AB至D,使AD=31AB,P为线段CD的中点,已知AP=17cm,求线段CD,AB的长.分析;由于BC=34AB,AD=31AB,P为线段CD的中点,由此我们可以引进未知数,利用AP=DP-AD列出方程求解.解:设AB=4x,则BC=3x,AD=43x,CD=253x,DP=256x.因为AP=DP-AD,所以256x-43x=17,所以x=6.所以CD=50cm,AB=24cm.评注:本题的文字虽然不多,但给同学们的感觉是杂,还通过认真分析题意,理顺各个量之间的关系即可快速求解.例3如图2,点B、C在线段AD上,E是AB的中点,F是CD的中点,若AB是CD的2倍,AE比CF大4,BC=7,求AD的长.BCAD图1BCAEDF图2分析:若设CD为2x,则AB为4x,于是利用AE比CF大4,即可列出方程求解.解:因为E、F分别为AB、CD的中点,所以2AE=2BE=AB,2CF=2DF=CD,设CD为2x,则AB为4x,则根据题意,得2x-x=4,所以x=4.所以AB=4x=16,CD=2x=8,所以AD=AB+BC+CD=16+7+8=3.评注:由线段中点的定义,结合图形,利用线段的和差,寻求线段AD与EF、BC间的大小关系,解此类题关键是灵活运用线段中点性质.
本文标题:利用方程思想求解线段问题
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