2018年清华大学自主招生试题数学Word版含解析

-1-一、选择题1.设复数z=cos23+isin23，则2111-1zz=（）(A)0(B)1(C)12(D)322.设数列{}na为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+qk+l”是“pqklaaaa”的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要3.设A、B是抛物线y=2x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则()(A)|OA|·|OB|≥2(B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB过抛物线y=2x的焦点(D)O到直线AB的距离小于等于14.设函数()fx的定义域为(-1,1)，且满足：①()fx0,x∈(-1,0)；②()fx+()fy=()1xyfxy，x、y∈(-1,1)，则()fx为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（）(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6.△ABC的三边分别为a、b、c．若c=2，∠C=3，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（）(A)b=2a(B)△ABC的周长为2+23(C)△ABC的面积为233(D)△ABC的外接圆半径为233-2-7.设函数2()(3)xfxxe，则（）(A)()fx有极小值，但无最小值(B)()fx有极大值，但无最大值(C)若方程()fx=b恰有一个实根，则b36e(D)若方程()fx=b恰有三个不同实根，则0b36e8.已知A={(x,y)∣222xyr}，B={(x,y)∣222()()xaybr，已知A∩B={(11,xy),(22,xy)}，则（）(A)022ab22r(B)1212()(y)0axxby(C)12xx=a，12yy=b(D)22ab=1122axby9.已知非负实数x,y,z满足22244xyz+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（）(A)1(B)2(C)3(D)410.设数列{na}的前n项和为nS，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得nS=ma，则（）（A）{na}可能为等差数列（B）{na}可能为等比数列（C）{na}的任意一项均可写成{na}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得na=mS11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁12.长方体ABCD−1111ABCD中，AB=2，AD=A1A=1，则A到平面1ABD的距离为（）(A)13(B)23(C)22(D)6313.设不等式组||||22(1)xyykx所表示的区域为D，其面积为S，则（）(A)若S=4，则k的值唯一(B)若S=12，则k的值有2个-3-(C)若D为三角形，则0k≤23(D)若D为五边形，则k414.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OAABOBBCOCCA=（）(A)0(B)−15(C)−212(D)−29215.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（）(A)P(A)=0.4(B)P(B−A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.916.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（）(A)最小值为34(B)最小值为45(C)最大值为43(D最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）(A)105种(B)225种(C)315种(D)420种18.已知存在实数r，使得圆周222xyr上恰好有n个整点，则n可以等于（）(A)4(B)6(C)8(D)1219.设复数z满足2|z|≤|z−1|，则（）(A)|z|的最大值为1(B)|z|的最小值为13(C)z的虚部的最大值为23(D)z的实部的最大值为1320.设m,n是大于零的实数，a=(mcosα,msinα)，b=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a=(cos2m,sin2m),12b=(cos2n,sin2n)，记θ=α−β，则（）(A)12a·12a=a(B)1122ab=cos2mn(C)112222||4sin4abmn(D)112222||4cos4abmn21.设数列{na}满足：1a=6，13nnnaan，则（）(A)∀n∈N∗,na3(1)n(B)∀n∈N∗,na≠2015(C)∃n∈N∗,na为完全平方数(D)∃n∈N∗,na为完全立方数22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（）（A）ρ=1cossin（B）ρ=12sin（C）ρ=12cos（D）ρ=112sin-4-23.设函数2sin()1xfxxx，则（）（A）()fx≤43(B)|()fx|≤5|x|(C)曲线y=()fx存在对称轴(D)曲线y=()fx存在对称中心24.△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（）(A)sinAcosB(B)tanAcotB(C)222abc(D)333abc25.设函数()fx的定义域是(−1,1)，若(0)f=(0)f=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（）(A)()fx0，x∈(−δ,δ)(B)()fx在(−δ,δ)上单调递增(C)()fx1，x∈(0,δ)(D)()fx1，x∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点kP(k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点iP,jP，使得|sin∠AiPB−sin∠AjPB|≤13，则n的最小值为（）(A)3(B)4(C)5(D)627.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+22xy的（）(A)最小值为45(B)最小值为25(C)最大值为1(D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（）(A)300个(B)450个(C)900个(D)1800个30.设曲线L的方程为42242(22)(2)yxyxx=0，则（）(A)L是轴对称图形(B)L是中心对称图形(C)L⊂{(x,y)∣22xy≤1}(D)L⊂{(x,y)∣−12≤y≤12}##Answer##1.【解析】2111-1zz=211-zzzzzz=11-zzzz=22cossin1332221-cossin2sin333iii-5-=212sin2sincos333i-22cos()sin()333(cossin)22ii=cos0sin02sin[cos()sin()]366ii-177[cos()sin()]663i=131(cossin)66223ii=1，选B2.【简解】()pqklaaaa=[(p+q)-(k+l)]d，与公差d的符号有关，选D3.【解析】设A(211,xx),B(222,xx),OAOB=1212(1)xxxx=0211xx答案(A),||||OAOB=2211221111(1)(1)xxxx=2121111xx≥11122||||xx=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OAOB≥22,正确；答案(C),直线AB的斜率为222121xxxx=21xx=111xx方程为y-21x=(111xx)(x-1x),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：(111xx)x-y+1=0的距离d=21111()1xx≤1，正确。选ABD4.【解析】x=y=0(0)f=0,y=-x()()fxfx,()fx为奇函数，(A)正确；()fx0，(B)错误；12xx，1()fx-2()fx=1()fx+2()fx=12121xxfxx01()fx2()fx()fx↓,(C)正确；()fx=-tan2x满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C5.【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=()fx至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故()Fx有三个极大值点，两个极小值点。选BC-6-6.【解析】2R=sincC=43R=233,D正确；又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=2或b=2a;A=2时，b=233,a=433,周长为2+3，面积为233；b=2a时，2c=222cosababCa=233,B=2,同样有周长为2+3，面积为233。选BCD7.【简解】()fx=(x+3)(x-1)xe,36)(3)fxfe极大（,)(1)-2fxfe极小（，作出其大致图象，如图选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:222xyr与⊙C:222()()xaybr交于相异的两点111(,)Pxy、222(,)Pxy。0|OC|2|r|022ab42r,(A)错；四边形O1PC2P是菱形对角线OC与12PP垂直且平分，(B)(C)正确；22ab=1122axby22221111()()axbyxy11||||CPOP，(D)正确。总之，选BCD-7-9.【解析】关于z的方程22224430zzxy有非负实数解，z=-1+2221xy≥02234xy,d=5x+4y+3z=5x+4y+6221xy-3,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2],r∈[0,32]d=r(5cosθ+4sinθ)+621r-3=r29sin(θ+arctan54)+621r-3≥4r+621r-3=2(2r+321r)-3,设a=（2,3），b=(r,21r)d≥2ab-3=2||||abcos(,ab)-3=213cos(,ab)-3,作图知XYOX2+Y2=132(2,3)a1(,ab)最大值是b与OY夹角，此时d≥213313-3=3。选C10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n1a≠1a,结论假，q≠1时，111(1)1nmaqaqq111nmqqq常数，也不可能；答案(C),1nnnaSS=mtaa,满足要求；答案(D),na=mS=ta，并非对所有数列成立。选AC11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D12.等体积法，选B13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形-8-P4P3P1(-25,-85)l3P2(-45,-65)l2:k2=4l1:k1=23D(-2,0)C(0,2)B(2,0)A(0-,-2)P(-1,-2)k0时，S单调增，梯形2PABC面积为2854，故S=4只有一解，(A)正确；△1PAB、△34PPD的面积分别为45、1,都比12大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为